Inégalité de Bienaymé

[Dlzlogic]

Bonjour,
C'est à propos d'un sujet en cours que je ne veux pas polluer.
L'inégalité de Bienaymé est intéressante sur le plan historique et sur le plan théorique des probabilités.
Par contre, sauf le désir de trouver des sujets d'exercice de calcul numérique, je ne comprends pas la raison pour laquelle on l'enseigne au niveau lycée. J'ai retrouvé un livre de terminale où c'est décrit sans autre explication. Dans l'exercice auquel je fais allusion, les bornes sont égales 2.5 sigma, donc la probabilité cherchée est environ 0.97. Sur le plan pratique, cela se traduit par le fait que si la circulation est inférieure à 3750 entre 7H et 9H, il y a une anomalie (accident blocage ). Par contre, si on s'en tient à une probabilité de 0.84, alors on estime que tout va bien et qu'il n'y a pas lieu de s'inquiéter.

[beagle]

https://www.ilemaths.net/sujet-inegalit ... 72273.html

il est dit:"On peut encore affiner, si on connait la loi de la série, c'est-à-dire la façon dont les valeurs sont distribuées. "

wikipedia:"En théorie des probabilités, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet de montrer qu'une variable aléatoire prendra avec une grande probabilité une valeur relativement proche de son espérance. Ce résultat s'applique dans des cas très divers, nécessitant la connaissance de peu de propriétés (seules l'espérance et la variance doivent être connues), et permet de démontrer la loi faible des grands nombres."
et loi faible loi forte ici:https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_des_grands_nombres#Loi_faible_des_grands_nombres

[beagle]

l'exo en question est le suivant:
superieur/probabilite-niveau-lycee-sup-t185717.html

donc là il faut utiliser quoi, et pourquoi, quoi?
Vos avis...

[Dlzlogic]

L'inégalité de Bienaymé, outre son côté historique est intéressante dans la mesure où elle établit une relation de probabilité où interviennent directement la moyenne arithmétique et l'écart type. En d'autre termes, si les différentes valeurs correspondent à des choses comparables, condition indispensable pour avoir le droit de calculer une moyenne arithmétique et un écart-type, alors il est IMPOSSIBLE que cette inégalité ne soit pas satisfaite.
Depuis Lagrange et Gauss, on sait que les écarts à la moyenne satisfont à une loi beaucoup plus précise. Ceci implique que l'inégalité de Bienaymé n'a qu'un intérêt historique et/ou théorique.

[beagle]

oui mais si on reprend cette phrase:
":"On peut encore affiner, si on connait la loi de la série, c'est-à-dire la façon dont les valeurs sont distribuées. "

doit-on en déduire que l'on ne sait rien de comment ils ont eu moyenne et écart-type,
et que donc on doit en rester à l'hypothèse minimum et faire du Bienaymé,
et pas du Gauss?

[beagle]

Perso je dirais que si on avait voulu une réponse avec du gauss on n'aurait pas demandé en question deux du 5 écart-types de chaque coté.
Mais c'est une réponse de crétin.

[Dlzlogic]

Bonjour Beagle,
J'ai soigneusement écrit mon texte. Entre Bienaymé et maintenant on a écrit le TCL, ce qui rend caduc cette inégalité. Malheureusement il y a K. qui est venu tout bousculer.
Si on connait la façon dont les valeurs sont distribuées, alors c'est qu'on a lu son cours. Le TCL est très clair, les valeurs sont distribuées suivant la loi normale (dans le monde observable).

[leon1789]

Bonsoir ! Ca faisait longtemps, hein ?...
L'inégalité de Bienaymé est certes pas très précise, mais elle n'est pas rendue caduc par le TCL puisque celui-ci ne parle pas de la même chose : les hypothèses sont très différentes et les conclusions n'ont rien à voir...

[Dlzlogic]

L'inégalité de Bienaymé est comme son nom l'indique, une inégalité. Donc la notion de "précision" est hors sujet.
Ces affirmations gratuites devraient être précisées :
1- de quoi parlent chacun de calculs ?
2- quelles sont les hypothèses "très différentes" ?
3- quelles sont les différentes conclusions ?

[leon1789]

L'inégalité de Bienaymé est comme son nom l'indique, une inégalité. Donc la notion de "précision" est hors sujet.

Si tu ne comprends pas ce qu'est la précision d'une inégalité, tant pis.

Ces affirmations gratuites devraient être précisées :
1- de quoi parlent chacun de calculs ?
2- quelles sont les hypothèses "très différentes" ?
3- quelles sont les différentes conclusions ?

Ben... il suffit de lire les deux théorèmes pour voir instantanément qu'ils n'ont rien de comparable, ni dans les hypothèses, ni dans les conclusions !
Tu veux bien citer précisément ces deux théorèmes ? ...puisque tu en as parlé, c'est que tu les connais, non ?

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je pense que la meilleure façon de te répondre est de citer le document de Eduscol.

Voir le document complet :
http://media.eduscol.education.fr/file/ ... 197243.pdf

Du point de vue historique, le résultat fondamental permettant de comprendre la façon dont se
stabilisent les fréquences des résultats au fur et à mesure que le nombre des essais augmente
est le théorème de Bernoulli. Ce théorème, qui confirme l’intuition sur la stabilité des
fréquences, est plus difficile à démontrer que la formule de Bayes. La démonstration
“moderne” dans la théorie axiomatique de Kolmogorov repose sur une majoration assez
grossière donnée par la formule de Bienaymé - Tchebychev, majoration peu utile en pratique.

[leon1789]

Bonjour,

Je pense que la meilleure façon de te répondre est de citer le document de Eduscol.

Voir le document complet :
http://media.eduscol.education.fr/file/ ... 197243.pdf

merci de citer ce document

Du point de vue historique, le résultat fondamental permettant de comprendre la façon dont se
stabilisent les fréquences des résultats au fur et à mesure que le nombre des essais augmente
est le théorème de Bernoulli. Ce théorème, qui confirme l’intuition sur la stabilité des
fréquences, est plus difficile à démontrer que la formule de Bayes. La démonstration
“moderne” dans la théorie axiomatique de Kolmogorov repose sur une majoration assez
grossière donnée par la formule de Bienaymé - Tchebychev, majoration peu utile en pratique.

Tiens, eux aussi, il disent que l'inégalité de Bienaymé n'est pas précise, ils disent même "assez grossière"...

Et tu veux montrer quoi avec cette citation de plusieurs lignes ? Tu ne veux pas nous énoncer les deux théorèmes (et voir ainsi qu'ils ne parlent pas de la même chose) ?

[Lostounet]

Comme d'habitude, Dlzlogic... pourquoi insistes-tu pour parler de probabilités? Ça engendre toujours des discussions stériles, des provocs ... bref des problèmes supplémentaires pour notre forum qui n'en a pas besoin. Au passage inutile d'insulter/provoquer des participants par MP.

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