De l'ignorance des nombres irationnels

[upium666]

Bonjour à tous et à toutes !

Je cherche l'expression exacte de ce nombre dont je ne connais pas toutes les décimales :
A l'instar du nombre pi et de tous les irrationnels dont on ne connaît que les premières décimales, je ne peux déterminer sa formule non-décimale et exacte.
Ce que je sais de ce nombre, c'est que :


Avec ces indications, vous pourrez trouver d'une manière ou d'une autre ce fameux
Pire encore : si je ne vous avais donné aucune indication, ce serait quasiment impossible !
Et si je vous disais que ?
Vous pourriez vérifier les 2 conditions que respecte ce nombre ... mais vous n'auriez pas pu faire le contraire (si facilement) !
Je suis omniscient, je le savais d'avance; j'ai fait ce petit discours exprès.
Exprès pour mettre en évidence, par analogie, le même problème que rencontrent les irrationnels tels que , etc...
par contre, non :doh: ... car on l'a défini dans des équations plus simples, et ... On en a trouvé une expression exacte !

Quels sont les problèmes que rencontrent les autres irrationnels ? (Comment se fait-il qu'on aie trouvé l'expression exacte de et pas les autres ?!)
Quelles pistes sont suivies actuellement ?
Quels sont les buts de trouver des expressions simplifiées voire exactes des irrationnels ?

Merci

[fma]

Bonjour,

1) Pi et l’exponentielle népérienne sont des nombres transcendants :
"En mathématiques, un nombre transcendant sur les rationnels est un nombre réel ou complexe qui n'est racine d'aucune équation polynomiale"

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_transcendant
et
http://famille-chazal.pagesperso-orange.fr/somemathresults.htm

2)Le nombre d'or n'est pas un nombre transcendant.
"En effet, le nombre d’or est la solution positive de l’équation : x²-x-1=0"

http://www.prepa-cpe.fr/documents/Le_nombre_d_or.pdf

3)Ajout :
"Les nombres transcendants ne sont donc jamais rationnels. Néanmoins, tous les nombres irrationnels ne sont pas transcendants : la racine carrée de 2 est irrationnelle, mais est une solution de l'équation polynomiale x^2 - 2 = 0"
Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction a/b, où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul)."

Ajout :
Critère d'irrationalité

http://encyclo.voila.fr/wiki/Nombre_irrationnel

[Nightmare]

Une expression exacte? Kézako?

[nodjim]

C'est bien n²-52x-224=0 ? que vient faire ce x ?

[upium666]

C'est bien n²-52x-224=0 ? que vient faire ce x ?

Corrigé :

[fma]

Corrigé :

Lors donc n=-4 ou 56.... et où apparaît 1.36293769193 ?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=n%C2%B2-52n-224%3D0

[upium666]

Une expression exacte? Kézako?

[upium666]

Lors donc n=-4 ou 56.... et où apparaît 1.36293769193 ?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=n%C2%B2-52n-224%3D0

Corrigé, je m'excuse; j'ai publié mon sujet hâtivement

[Nightmare]

Ca ne répond pas à la question. Quelle est ta définition de ce que tu appelles valeur exacte en maths? Faudrait déjà se poser cette simple question...

[L.A.]

Bonjour.

Oui, "n = racine 13ème de 56" n'est-elle pas une expression suffisament exacte pour toi ? Je comprendrais si tu en voulais une valeur approchée, mais tu en veux une expression exacte alors que tu l'as déjà...

Quant à cela fait environ 56.00000753 donc pas 56, quel est le rapport avec le n précédent ? Si tu veux tu as

Juste comme ça, pourrait-on savoir pourquoi tu t'intéresses tant à ce nombre ?

[fma]

http://numberworld.info/136293769193

[fma]

Ce que je sais de ce nombre, c'est que :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=n%5E26-52n%5E13-224%3D0

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2%5E%283%2F13%29+7%5E%281%2F13%29&lk=1&a=ClashPrefs_*Math-

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%282%5E%283%2F13%29+7%5E%281%2F13%29%29%5E13

http://www.wolframalpha.com/input/?i=n%C2%B2-52n-224%3D0

[mathafou]

http://numberworld.info/136293769193

J'adore ce site
résoudre (sic) cos(x)+5

ça ne s'invente pas, mais quelle est donc la valeur de arccos 5 ???
un nombre imaginaire très certainement ...

[fma]

J'adore ce site
résoudre (sic) cos(x)+5

ça ne s'invente pas, mais quelle est donc la valeur de arccos 5 ???
un nombre imaginaire très certainement ...

Peux-tu m'expliquer où tu trouves cette relation et que dit-elle ici ?
merci

[fma]

J'adore ce site
résoudre (sic) cos(x)+5

ça ne s'invente pas, mais quelle est donc la valeur de arccos 5 ???
un nombre imaginaire très certainement ...

Si c'est une réponse, disons humoristique, au lien que j'avais supprimé car il ne me semblait pas pertinent, et avant que tu ne le remettes, ce n'est pas forcément adroit.

[Skullkid]

Bonjour, comme dit, il faudrait qu'upium666 donne une définition de ce qu'il entend par "expression exacte". Parce sinon, au sens mathématique le plus général, "e" est une expression exacte de e, au même titre que "0" est une expression exacte de 0.

J'imagine que les expressions ciblées sont celles du genre suite finie de symboles pris parmi les 10 chiffres, la virgule, les quatres opérations, les parenthèses et un petit nombre de fonctions choisies à l'avance (dont la racine carrée, apparemment). Dans ce cas on ne peut construire qu'une infinité dénombrable d'expressions donc on ne pourra jamais couvrir tous les irrationnels.

La question à se poser est celle de l'intérêt de telles expressions. Après tout, quand on écrit c'est juste un raccourci pour "l'unique solution positive de x^2 = 5". En quoi est-ce plus exact/intéressant que d'écrire comme raccourci pour "la circonférence du cercle de diamètre unité" ou "le nombre dont le sixième du carré est la somme des inverses des carrés de tous les entiers naturels" ? Pourquoi accepterait-on la présence de la racine carrée dans les "expressions exactes" mais pas celle du logarithme ?

[mathafou]

Bonjour,

Si c'est une réponse, disons humoristique, au lien que j'avais supprimé car il ne me semblait pas pertinent, et avant que tu ne le remettes, ce n'est pas forcément adroit.

1) au moment où j'ai posté en citant ce lien, tu ne l'avais pas encore supprimé et j'ignorais que tu allais le faire (regarde les heures c'est la même, tu supprimais ton lien pendant que je postais)

2) ce lien comme d'autres donne une forme "d'encyclopédie des nombres" considérer aussi l'inverseur de Simon Plouffe comme "non pertinent" est tout aussi valable dans ce contexte et pourtant ... on tape un nombre approché et (avec de la chance) il donne une formule exacte

3) ce site comme Wolfram donne les formules exactes pour les racines d'équations du 3ème ou 4ème degré (il comporte un solveur d'équations entre autres outils)
dans les exemples fournis dans le solveur se trouvait comme exemple cette équation que j'ai citée et le solveur donne cette solution. j'ai trouvé "en sujet" de mettre une formule exacte pour une solution qui n'existe pas. (tout au moins dans R, arccos dans les complexes reste à préciser sérieusement)

[fma]

Merci pour ta réponse qui me réconforte.
Mes doutes n'étaient pas fondés ; je suis un peu parano.

L'inverseur de Plouffe ne marche plus depuis des mois.
Tu as ça que tu connais peut-être :
http://oldweb.cecm.sfu.ca/projects/ISC/ISCmain.html

[mathafou]

L'inverseur de Plouffe ne marche plus depuis des mois.
Tu as ça que tu connais peut-être :
http://oldweb.cecm.sfu.ca/projects/ISC/ISCmain.html

exact
j'avais contacté Simon Plouffe sur un autre forum que j'avais vu qu'il fréquentait
la réponse a été : la base de donnée de l'inverseur devenait ingérable et il aurait fallu investir dans du matériel plus conséquent, donc l'inverseur a été abandonné mais par contre via son site on a encore accès à l'ancienne version, sur le lien que tu cites (ou donc directement sur ce lien là).

[upium666]

Bonjour, comme dit, il faudrait qu'upium666 donne une définition de ce qu'il entend par "expression exacte". Parce sinon, au sens mathématique le plus général, "e" est une expression exacte de e, au même titre que "0" est une expression exacte de 0.

J'imagine que les expressions ciblées sont celles du genre suite finie de symboles pris parmi les 10 chiffres, la virgule, les quatres opérations, les parenthèses et un petit nombre de fonctions choisies à l'avance (dont la racine carrée, apparemment). Dans ce cas on ne peut construire qu'une infinité dénombrable d'expressions donc on ne pourra jamais couvrir tous les irrationnels.

La question à se poser est celle de l'intérêt de telles expressions. Après tout, quand on écrit c'est juste un raccourci pour "l'unique solution positive de x^2 = 5". En quoi est-ce plus exact/intéressant que d'écrire comme raccourci pour "la circonférence du cercle de diamètre unité" ou "le nombre dont le sixième du carré est la somme des inverses des carrés de tous les entiers naturels" ? Pourquoi accepterait-on la présence de la racine carrée dans les "expressions exactes" mais pas celle du logarithme ?

Ma définition est personnelle, mais puisque vous l'avez demandée, voici ma vision des choses :
Je distingue EXPRESSION "exacte" (cos(x) a pour expression exacte , arcsin(x) a pour expression exacte , etc...) de VALEUR exacte qui à mon sens est une expression qui se contente d'employer les nombres entiers, l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et les puissances (j'espère n'avoir rien oublié au cas où vous attaqueriez ma définition des choses :p)