On a en gros une trentaine d'équivalents à l'hypothèse de Riemann, certains sont de puissants résultats d'analyse, d'autre des résultats sur la répartition des nombres premiers. Il y a aussi des conséquences monumentales. En particulier on montre "presque" la conjecture de Goldbach faible qui est la plus vielle conjecture mathématique non démontrée à ce jour il me semble. Elle dit que tout nombre impair plus grand que 9 est la somme de trois nombres premiers impairs (et une conséquence de l'hypothèse de Riemann est que tout nombre impair s'écrit comme la somme de trois nombres premiers, donc il manque seulement l'imparité des trois nombres premiers, en gros ça dit que 2 peut intervenir alors que c'est interdit dans la conjecture de goldbach faible d'où le "presque").
Sinon sur la conjecture de Goldbach forte (tout nombre pair plus grand que 4 est la somme de deux nombres premiers) tu peux montrer que le nombre de nombres pairs plus petit que N, E(N) qui échappe à la règle vérifie
=O(N^{\frac{1}{2}+\epsilon}))
ce qui dit avec une bonne précision que "presque" tous les nombres pairs sont somme de deux nombres premiers.
Te donner toutes les conséquences est impossible, je ne les connais pas toutes et il y en a un nombre astronomique. C'est la conjecture non démontrée qui a le plus grand nombre de conséquences connues sur des domaines trèèèès variés et certaines de ces conséquences sont extrêmement puissantes. C'est pour ça que la plupart des mathématiciens s'accordent pour dire que c'est la conjecture la plus importantes dans le monde des mathématiques...
Hilbert disait à ce sujet "If I were to awaken after having slept for a thousand years, my first question would be: has the Riemann hypothesis been proven?"
voilà voilà ! :happy3:
