Hypothese du continu

[Pafapafadidel]

Bonjour!

Dans un cours sur l'intégration dans les espaces produits, l'auteur cite des contre-exemples au théoreme de Fubini lorsque toutes les hypotheses ne sont pas respectées. En particulier, lorsque l'hypothese de la mesurabilite n'est pas respectée, il utilise l'hypothese du continu afin de créer une fonction non mesurable contredisant Fubini.
Ma question est donc: quelle est la légitimité d'utiliser l'hypothese du continu alors qu'il a été prouvé que c'est un indécidable? Pour moi, a l'heure actuelle, on ne sait toujours pas si cette "hypothese" est vrai ou fausse; que penser alors de ce contre-exemple? L'aurait on admise dans les axiomes actuels? Mais dans ce cas, pourquoi pas sa négation alors? Devrait je le prendre plus prosaiquement en disant que ce contre-exemple marche "au cas ou il n'existerait pas d'ensemble de cardinal aleph 1/2"?

[mathelot]

Bonsoir,

Pour un contre-exemple de Fubini, faire simple:

1) considérer deux carreaux du plan , horizontaux contigüs

2) on les duplique en escalier infini, en les superposant
et en les décalant pour faire des marches d'escalier

3) On définit une mesure discrète sur les carreaux
par exemple une famille sommable

La mesure contredit le théorème de Fubini car lorsque l'on somme verticalement,le 1er carreau n'est compté qu'une fois, et lorsque l'on somme
horizontalement, le 1er carreau est compté deux fois.

Hypothèse du continu

Précisons qu'actuellement, il y a une théorie du forçing.

Cette théorie indique que l'hypothèse du continu est plus naturelle
que son contraire et donc que les mathématiciens vont adopter
l'axiome du continu

voiçi les liens
ici
là

PS: à la lecture des liens, il semble que ça soit l'inverse. On est
conduit à rejeter l'hypothèse du continu.
Il y aura donc des parties de isomorphes ni à ni à

Bigre ! c'est encore plus étrange que non Lebesgue-mesurable

[Pafapafadidel]

Et oui! Je me suis renseigné un peu avant et apparement les dernieres recherches en la matier penchent pour sa negation: apparement le cardinal de R serait aleph 2 et non aleph 1, mais rien de prouvé.

Mis a part ces résultats un peu flou, peut on légitimement utiliser HC en attendant de savoir si oui ou non c'est vrai? Car l'auteur dans mon livre ne souleve absolument pas ce point, précisant juste qu'il l'utilise a ce moment la.

[mathelot]

re,

je te conseille la prudence. D'après ce qu'on lit dans les ouvrages de vulgarisation, on va infirmer HC.

Ceci écrit, quand on construit R (coupures ou suites de Cauchy)
on ne voit pas "apparaitre" de mystérieux ensembles entre Q et R

Je ne comprend pas comment ça marche: ce mystérieux ensemble,
pour quelle raisons ne serait il pas équipotent à une partie de R.

Je crois me souvenir que dans la construction de R, on obtient l'équipotence
avec les parties de Q ?? Avec Cauchy, les réels sont les suites
de Cauchy quotientées par l'idéal des suites de limite nulle

isomorphe à ou plus petit ?

[Pafapafadidel]

R est en bijection avec les parties de Q, vu que Q est denombrable. A mon avis, vu la difficulte a prouver qu'il en existe, on est pas pres de mettre la main sur un ensemble de cardinal compris entre Q et R.

Tes liens sont tres interessants en tout cas, ils aident plutot bien a suivre l'affaire,

[mathelot]

re,

je vais sûrement écrire de grosses bêtises,déja j'y connais rien :hum:

Il me semble que lorsque on construit R à partir de Q par le procédé des coupures de Dedekind, un réel est un couple (A,B)
de parties de Q adjacentes (au même sens que deux suites numériques peuvent être adjacentes)

et on doit obtenir que R est équipotent à 2^Q

d'où pourrait "provenir" dans ces conditions un ensemble entre Q et R ?

il y a un truc jamais éclairçi en maths, c'est un point "obscur" de la logique des fondements, c'est la possibilité de définir les entiers naturels
ex-nihilo. Poincaré et Kronecker pensaient que ce n'était pas possible,
qu'il y avait dans toute construction des entiers naturels, une sorte d'auto-référence, un méta-comptage qui anhihilait la construction.


Dans la fameuse démo de Bourbaki
0= , , 2=
il faut compter..les accolades.

pour conclure, un tel ensemble proviendrait directement de la théorie des ensembles ??? encore plus en amont que les axiomes de Péano.

Pour exhiber un ensemble non-Lebesgue mesurable,par ex ,c'est pas compliqué, il me semble que l'on quotiente R,+ par Q,+ et qu l'axiome du choix permet de choisir un représentant dans chaque classe, ce qui
donne au final un ensemble non Lebesgue mesurable

si on transpose le raisonnement, il faudrait exhiber une famille
de parties de Q (donc un sous ensemble de R) avec suffisamment de représentants pour être plus que dénombrable mais pas trop, pour ne
pas être équipotent à R
à ce moment là, on verrait bien un truc du style "paradoxe du barbier"
pour obtenir un défaut d'équipotence

[Pafapafadidel]

Vu qu'il a été prouvé qu'on ne peut ni infirmer ni confirmer l'hypothese du continu dans ZFC, il faut forcément travailler avec des outils inédits pour trouver ce fameux ensemble. Impossible donc de s'y attaquer avec des moyens traditionnels: encore faut il savoir quel axiome "raisonnable" ajouter a ZFC pour pouvoir prouver son existence, puis le construire.

Toujours sur le sujet de l'hypothese du continu, apparement cette derniere prouve l'existence d'un application injective j de [0,1] dans un ensemble bien ordonné W tel que pour tout x appartenant a [0,1], j(x) n'a qu'un nombre au plus dénombrable d'antérieurs. Quelqu'un pourrait il m'expliquer pourquoi?

[Doraki]

Le plus petit ordinal de cardinal aleph1 contient une infinité (aleph1) d'ordinaux de cardinal <= aleph0.

Si HC est vraie, tu mets [0;1] en bijection avec cet ordinal et voilà.

[Pafapafadidel]

deux petites questions donc:
-Ne necessite t'on pas l'axiome du choix pour prouver l'existence d'un tel ensemble?
-Si HC se trouve etre fausse, se peut il tout de meme qu'un tel ensemble existe?

[Ben314]

Salut Pafapafadidel,
Comme tu l'as écrit toi même, H.C. ne peut pas "se trouver être fausse" : on SAIT qu'elle est indécidable dans Z.F.C (sans l'axiome du choix, tout ensemble n'est plus équipotent à un ordinal et la théorie des cardinaux est un peu "bancale" donc on fait en général la majorité des raisonnements dans Z.F.C. De plus, évidement, si c'est indécidable dans Z.F.C. ça l'est encore plus dans Z.F. !!!)
On sait même assez précisément quelles sont les "possibilités" de cardinaux qui peuvent s'intercaller entre le dénombrable et le continu.

Par contre, là où il y a un truc qui m'échappe, c'est que pour produire un contre exemple à Fubini, c'est pas la peine de sortir de l'artillerie lourde : il existe une fonction f:[0,1]^2->R trés "gentille" (une fraction rationnelle mais dont j'ai la flemme de retrouver la formule) telle que int(int f dx)dy=0 et int(int f dy)dx=1 (et, bien évidement, l'intégrale double au sens de Lebesgue est divergente)

Donc je vois pas trop le rapport Fubini <-> Hypothèse du continu ....

Le seul truc qui ressemble un peu et qui me vient à l'esprit est :
Existence de parties non mesurables <-> Axiome du choix
mais ça a rien à voir...

[Pafapafadidel]

En fait, l'auteur donne un contre exemple de fonction satisfaisant tout les hypotheses de Fubini sauf la mesurabilite, pour montrer qu'on ne peut se passer de celle ci. J'imagine que ta fonction rationnelle est par contre mesurable.

[Ben314]

En fait, l'auteur donne un contre exemple de fonction satisfaisant tout les hypotheses de Fubini sauf la mesurabilite, pour montrer qu'on ne peut se passer de celle ci. J'imagine que ta fonction rationnelle est par contre mesurable.

Effectivement, les "contre exemples" classique, par exemple (x²-y²)/(x²+y²)² sur [0,1]² sont continus (sauf en un point) donc forcément mesurables.
Par contre, je comprend pas trop ton "toutes les hypothéses de Fubini sauf la mesurabilité" : pour moi, la seule hypothèse du théorème de Fubini est la mesurabilité (si la fonction est à valeur dans R+ et, évidement, l'intégrabilité si elle est à valeur dans R ou C) de la fonction au sens de la mesure produit (c.f. par exemple Wiki) donc je comprend pas trop ce qui reste comme hypothèse si on enlève la mesurabilité...

Ou alors tu ne parle pas de la même version du théorème ?

[Pafapafadidel]

L'integrabilité me parait une hypothese importante tout de meme. Ton contre-exemple satisfait la mesurabilité, il y a donc bien d'autres hypotheses qu'il ne satisfait pas. Je n'ai pas le contre exemple en tete ni le temps de le chercher maintenant, mais si tu veut je te le donnerai en détail des que je l'aurais retrouvé; peut-etre je me trompe sur certains points (car effectivement, si on ne satisfait pas la mesurabilité, on ne risque pas de satisfaire l'intégrabilité).

Sur l'Hypothese du Continu, j'ai encore quelques problemes philosophiques: si on arrivait a prouver qu'elle soit fausse a condition de rajouter certains axiomes a ZFC, cela voudrait dire que R contiendrait donc un sous-ensemble E de cardinal compris entre celui de R et celui de N (bien qu'il soit nécessaire d'avoir de nouveaux axiomes pour le prouver). Mais cet ensemble E, on ne pourrait pas le créer avec ZFC, vu que HC est indécidable sous ZFC. Pourtant il est sous-ensemble d'un ensemble déja créé avec ZFC, donc il "existe" tout de meme quelquepart, meme si on ne peut le construire. Meme si on nécessite de nouveaux axiomes pour prouver l'existence de E, R reste exactement le meme ensemble que ce soit dans ZFC ou dans ZFC amélioré, et le cardinal de E ne devrait pas changer, qu'on enleve les nouveaux axiomes ou non. Quel est le probleme de ce raisonnement?

J'échange la réponse a cette question contre mon contre-exemple a Fubini!

[Ben314]

Sur l'Hypothese du Continu, j'ai encore quelques problemes philosophiques: si on arrivait a prouver qu'elle soit fausse a condition de rajouter certains axiomes a ZFC

Ici, c'est extrèmement simple : vu qu'on sait que HC est indécidable dans ZF, on peut (et certains le font) rajouter comme axiome "HC est Vraie" ou bien "HC est Fausse", voire même des axiomes plus précis dans le cas HC fausse du style "il existe exactement cinq cardinaux compris entre le dénombrable et le continu" (par contre, on ne peut pas supposer totalement n'importe quoi, mais j'ai plus les références...)

cela voudrait dire que R contiendrait donc un sous-ensemble E de cardinal compris entre celui de R et celui de N (bien qu'il soit nécessaire d'avoir de nouveaux axiomes pour le prouver). Mais cet ensemble E, on ne pourrait pas le créer avec ZFC, vu que HC est indécidable sous ZFC. Pourtant il est sous-ensemble d'un ensemble déja créé avec ZFC, donc il "existe" tout de meme quelquepart, meme si on ne peut le construire. Meme si on nécessite de nouveaux axiomes pour prouver l'existence de E, R reste exactement le meme ensemble que ce soit dans ZFC ou dans ZFC amélioré, et le cardinal de E ne devrait pas changer, qu'on enleve les nouveaux axiomes ou non. Quel est le probleme de ce raisonnement?

Le problème de ce raisonnement, c'est qu'il sous entend qu'il existe un seul "truc" qui s'appelle l'ensemble des nombres réels alors que ce n'est absolument pas le cas.
Donner un système d'axiome pour les ensemble, c'est ce donner une liste de propriétés que doivent vérifier une "collection" de "trucs" pour que l'on ait le droit de dire que ce sont des "ensembles". Cela ne signifie nulement que la collection est unique.
Pour donner un exemple simple, d'axiome, il te suffit de prendre les axiomes des groupes : un ensemble G muni d'une loi * est un groupe lorsque :
- Pour tout a,b,c dans G, (a*b)*c=a*(b*c) [associativité]
- Il existe un élément e de G tel que, pour tout a de G, a*e=e*a=a [neutre]
- Pour tout a de G, il existe au moins un a' de G tel que a*a'=a'*a=e [symétrique]
Avec ces axiomes là, on démontre que le neutre e est unique (ce qui signifie que, dans TOUT groupe G, le neutre est unique) il est donc inutile d'ajouter l'axiome "le neutre est unique" et la théorie devient contradictoire si on ajoute l'axiome "il y a plusieurs neutres"
Par contre, toujours avec ces axiomes là, la proposition "pour tout a,b de G a*b=b*a [commutatifité]" est indécidable, (ce qui signifie qu'il existe des groupes commutatifs et qu'il en existe des non commutatifs). On peut donc rajouter l'axiome "pour tout a,b de G a*b=b*a" ce qui signifie que l'on se place dans la catégorie des groupes commutatifs (et que tout ce que l'on va démontrer sera valable pour tout les groupes commutatifs) ou bien rajouter l'axiome "il existe a,b de G tels que a*bb*a" ce qui signifie que l'on se place dans la catégorie des groupes non commutatifs.

Pour ZF (ou ZFC ou ...), c'est à peu prés la même chose : on a une liste d'axiomes el il faut bien comprendre que cela ne désigne pas UN "objet" mais des tas d'"objets" (le mot consacré en math est celui de "modèle" : au lieu de dire que "G est un groupe" on peut dire que "G est un des modèle de la théorie des groupes").
Dire par exemple que HC est indémontrable dans ZF, cela signifie simplement que, parmi la multitude des modèles de ZF, certains vérifient HC et d'autres pas. Rajouter HC aux axiomes veut simplement dire que l'on ne s'interesse plus qu'aux modèles verifiant HC.
Bien évidement, dans chaque modèle de ZF, il y a un ensemble qui s'appelle R, mais (tout aussi évidement), ce n'est pas "le même R" dans chaque modèle : c'est comme dans la théorie des groupes où chaque groupe a un élément neutre, mais ce n'est pas le même pour tout les groupes et, il se peut que, dans certains groupes, le neutre ait une propriétés particulière, mais qu'il ne l'ait pas dans tout les groupes.

[Pafapafadidel]

Tout ceci est extremement intéressant! Mais malgré tout, les axiomes de ZFC ont tout de meme été créés pour répondre au paradoxes d'une théorie des ensembles prenant comme base que toute propriété définit un ensemble, et donc suit tout de meme des principes logiques fondamentaux j'imagine. On peut donc dire que certains axiomes sont tout de meme plus "vrais" que d'autre, n'est ce pas?
Tu parles de modeles de ZFC, dont les éléments sont les ensembles. Y'en a t'il un que l'on utilise courament? Peut tu me donner des exemples de modeles de ZFC? Ou alors les utilise t'on tous a la fois sans les distinguer les uns des autres (d'ou le probleme avec les propositions indécidables)?

Pour Fubini, le contre exemple proposé par l'auteur ne satisfait en fait pas la mesurabilité par rapport a la mesure produit: il satisfait juste la mesurabilité par rapport a l'une et l'autre des deux mesures, ce qui fait que l'on peut l'intégrer par rapport a l'une puis l'autre, mais selon l'ordre dans lequel on le fait, on trouve 0 ou 1. Je n'ai encore une fois pas le temps de le donner en détail, ce sera pour demain!

[Pafapafadidel]

Soit j l'application définie plus haut, on définit Q par l'ensemble des (x,y) du carré unité tels que j(x) soit antérieur a j(y) dans W. Pour tout x appartenant a [0,1], Qx (la section de Q selon x, ie l'ensemble des y tq (x,y) appartienne a Q) contient tous les points de [0,1] sauf une famille démonbrable. Pour tout y appartenant a [0,1], Qy (la section de Q selon y) contient au plus une famille dénombrable de point de [0,1]. Soit f la fonction caractéristique de Q, on en déduit aisément que son intégrale par rapport a y, puis a x est égale a 1, et que l'intégrale par rapport a x, puis a y est égale a 0 (le tout selon la mesure de Lebsgue sur [0,1] bien sur). C'est donc sa non mesurabilité sur [0,1]x[0,1] qui fait défaut au théoreme de Funini.

[Ben314]

Concernant la donnée d'un modèle de ZF (ou de ZFC), non, je ne peut pas t'en donner un.
La raison est assez simple : je pourait à la limite te donner "ex nihilo" un modéle d'un truc comme un groupe d'ordre 10 et te montrant... 10 billes, mais comment te "montrer" dans notre univers qui semble fini un modéle "concret" d'un système d'axiomes dont l'un d'entre eux affirme l'existence d'un ensemble infini ?
A la limite, si tu me donne un autre système d'axiomes nommé TOTO et que l'on fait l'hypothèse que ton système d'axiome admet un modèle (ce qui est assez "gratuit" si le système d'axiome TOTO parle lui aussi d'ensemble infinis), il est possible que, à l'aide de ton modèle , je puisse fabriquer un modèle de ZF.
Dans ce cas, on dit que ZF est "consistant" par rapport à TOTO.
On sait que ZF est consistant par rapport à d'autres systèmes d'axiomes qui ont étés imaginés vers la même époque et, lorsque l'on affirme (un peu rapidement) que tel ou tel axiome est consistant, il est à peu prés systématiquement sous entendu que l'axiome est consistant relativement à ZF.
Le cas le plus connu est la consistance de l'axiome du choix (ainsi que de sa négation) par rapport à ZF : on sait que, s'il existe un modèle de ZF (vérifiant ou pas l'axiome du choix) alors il en existe forcément un qui vérifie l'axiome du choix et aussi un qui ne vérifie pas l'axiome du choix.

Concernant ta phrase :
"Mais malgré tout, les axiomes de ZFC ont tout de meme été créés pour répondre au paradoxes d'une théorie des ensembles prenant comme base que toute propriété définit un ensemble, et donc suit tout de meme des principes logiques fondamentaux j'imagine. On peut donc dire que certains axiomes sont tout de meme plus "vrais" que d'autre, n'est ce pas ?"
Je suis tout à fait d'accord sur le début : il est à peu prés sûr que c'est le paradoxe concernant les ensembles qui appartiennent à eux même qui à conduit à chercher une façon "rigoureuse" d'éviter ce paradoxe.
Par contre, concernant la fin, je ne suis pas vraiment d'accord (mais c'est presque plus de la philosophie que des maths) : les axiomes (de ZF ou autres) n'ont pour moi aucun caractère de "vérité" et il n'y en a pas de plus "vrai" que d'autre : il représentent un systéme le plus "minimal" possible dans lequel on arrive à démontrer... à peu prés tout ce qui avait été démontré AVANT que l'on ne songe à axiomatiser les ensembles et qui, par contre, ne permet plus d'écrire le paradoxe des ensembles qui s'auto-appartiennent.
Par exemple, l'idée que je me fait de l'univers "concret" dans lequel on vit me fait penser que l'axiome de ZF qui dit qu'il existe un ensemble infini est... totalement faux dans notre monde. Sauf que, sans cet axiome, on ne peut évidement pas construire l'ensemble des réels R, ni même N et que, en conséquence, ben on peut pas faire grand chose (mathématématiquement parlant) donc, bien qu'il ne soit pas trés naturel (au sens que de trouver l'infini dans la nature, c'est pas gagné) on le garde quand même car il permet de "belles constructions" mathématiques.

P.S. Dans ton dernier post, jai pas bien compris la référence à la "fonction j"...

[Pafapafadidel]

j est l'injection de [0,1] dans W dont je parlais dans mon premier post.

Merci pour tes reponses! Elles repondent parfaitement a toutes mes questions!

[Pafapafadidel]

Admettons qu'on mette la main un jour sur une théorie des ensembles "idéale", c'est a dire une théorie ou toute propriété définit un ensemble, privée des cas paradoxaux et seulement ceux la. Dans cette théorie, resterait il des indécidables? Pourrait on donc trancher sur l'hypothese du continuet vérifier la véracité des axiomes ZFC? Il y'aurait donc dans cette théorie un seul modele, et celui la serait donc "le bon". Dans ce cas, on peut bien parler de propositions vraies ou fausses, "selon cette théorie". C'est en tout cas ce que me dit mon intuition; mais alors dans ce cas, il serait completement infondé de dire qu'on peut faire des maths avec HC ou avec sa négation, puisqu'un seul des deux serait vérifié. L'idée de cette théorie idéale serait elle donc elle meme paradoxale? Ou alors incluerait elle justement différents modeles? Ou bien tout ce que je dis n'a aucun sens?

Car dans l'idée d'une théorie naive des ensembles, on a pas du tout cette conception de différents modeles, et donc la solution de poser des axiomes est "bancale" dans le sens ou elle ouvre de multiples modeles, et donc de différentes théories des ensembles, contradictoires entre elles (comme "ZF+HC" est contradictoire a "ZF+il existe des ensembles de cardinaux compris entre R et N"), ce qui n'est pas la cas d'une théorie universelle de toute propriété définissant un ensemble, meme si malheureusement celle ci conduit a des paradoxes.

Je sais que mes questions s'éloignent quelque peu du domaine des maths, mais j'aimerais intégrer parfaitement les notions de théorie des ensembles afin d'avoir des idées claires pour tout le reste.

Merci de l'intéret que tu portes a mes reflexions en tout cas!

[Ben314]

Admettons qu'on mette la main un jour sur une théorie des ensembles "idéale", c'est a dire une théorie ou toute propriété définit un ensemble, privée des cas paradoxaux et seulement ceux la. Dans cette théorie, resterait il des indécidables? Pourrait on donc trancher sur l'hypothese du continuet vérifier la véracité des axiomes ZFC? Il y'aurait donc dans cette théorie un seul modele, et celui la serait donc "le bon". Dans ce cas, on peut bien parler de propositions vraies ou fausses, "selon cette théorie". C'est en tout cas ce que me dit mon intuition; mais alors dans ce cas, il serait completement infondé de dire qu'on peut faire des maths avec HC ou avec sa négation, puisqu'un seul des deux serait vérifié. L'idée de cette théorie idéale serait elle donc elle meme paradoxale? Ou alors incluerait elle justement différents modeles? Ou bien tout ce que je dis n'a aucun sens?

Ce que tu dit à parfaitement du sens et, si je ne m'abuse (je suis pas bien fort en histoire des maths, donc si quelqu'un s'y connait mieux...), c'était précisément le "rève" de Hilbert : trouver un système d'axiome tel que :
1) On puisse démontrer qu'il est non contradictoire, c'est à dire être sûr qu'il est impossible avec ces axiomes de démontrer qu'une proposition P est vraie puis, de démontrer que ... P est fausse.
2) Tel qu'il n'y ait aucune proposition indécidable, c'est à dire que, quel que soit la proposition P, on puisse démontrer à l'aide des axiomes que P est vraie OU BIEN démontrer que P est fausse.

Cela correspond trés exactement à ton "rève" de modèle unique.

Sauf que quelques années plus tard, est arrivé Kurt Gödel et ces deux fameux théorèmes qui montrent que, modulo quelques petites hypothèses sur le système d'axiomes, il n'existe pas de systèmes d'axiomes vérifiant le 2), ni même le 1) : Adieu le "rève de Hilbert"...

Car dans l'idée d'une théorie naive des ensembles, on a pas du tout cette conception de différents modeles, et donc la solution de poser des axiomes est "bancale" dans le sens ou elle ouvre de multiples modeles, et donc de différentes théories des ensembles, contradictoires entre elles (comme "ZF+HC" est contradictoire a "ZF+il existe des ensembles de cardinaux compris entre R et N"), ce qui n'est pas la cas d'une théorie universelle de toute propriété définissant un ensemble, meme si malheureusement celle ci conduit a des paradoxes.

Une fois de plus, tu as parfaitement raison, sauf que, sauf que, sauf que... dans la théorie "naïve" des ensembles, il y a le paradoxe des ensembles qui s'appartiennent à eux même et c'est tout de même bien ennuyeux : dés qu'un système d'axiome permet de montrer qu'une proposition P est à la fois vraie et fausse, il en découle immédiatement que TOUTE proposition Q est à la fois vraie est fausse. En effet, la "logique élémentaire" te dit que, vu que P est fausse, la proposition "P=>Q" est vrai. Mais comme P est aussi vrai et que l'on vient de voir que "P=>Q" est vraie, ben ça signifie que Q est vraie.
Comme Q est quelconque, le même raisonnement appliqué à non(Q) montre que non(Q) est vraie. Tout cela pour dire que si une théorie contient un seul paradoxe alors, dans cette théorie, toute proposition est à la fois vraie et fausse : il n'y a absolument plus rien à démontrer...

Je sais que mes questions s'éloignent quelque peu du domaine des maths, mais j'aimerais intégrer parfaitement les notions de théorie des ensembles afin d'avoir des idées claires pour tout le reste.

Perso, je ne trouve pas du tout que ça s'éloigne des maths : ça a été un "gros" OS dans l'histoire des mathématiques (le problème des "fondements") et presque tout les "grand" matheux de la fin du 19em et du début du 20em ce sont penchés sur le problème. Le "grand débat" c'est nettement calmé aprés les théorème de Gödel disant (plus ou moins) qu'il fallait forcément accepter de "vivre dangereusement", c'est à dire avec une théorie dans laquelle certaine proposition ne peuvent ni être démontré, ni être réfutées, et surtout, une théorie qui risque un jour de nous "péter à la figure", c'est à dire qu'il est possible qu'un jour on trouve des contradictions dans les axiomes de Z.F.
La "théorie des modèles" reste une branche a mon sens trés importante des mathématiques mais j'ai l'impression qu'elle est beaucoup délaissé et trés peu connue même dans le millieu des mathématiciens (ça sert pas à grand chose, même dans les autres domaines des maths ? c'est trop théorique ?...)
Je ne sais pas combien il y de chercheur (en france par exemple) qui font de la théorie des modèle, ni combien il y a de fac qui proposent des cours sur le sujet, mais je pense que c'est trés faible.