Hypothese du continu

[Pafapafadidel]

J'imagine que les mathématiques sont enseignées en priorité pour etre appliquées, et comme la théorie des ensembles ne concerne que les maths pures, cela n'intéresse personne. Sauf ceux qui font des maths pures, cad ceux destinés a etre profs. Mais comme eux meme enseignent les mathématiques pour etre appliqués, ils en ont pas besoin non plus...
Je dirais que la question est indécidable dans notre systeme de l'enseignement: on peut choisir de faire avec ou pas, mais en regle générale on évite d'en parler.

Je sais que je vais paraitre insistant, mais tes réponses m'intéressent, alors je continue.
Je prends un exemple plus "concret" que HC pour illustrer ce que j'ai retiré de tout cela:
En supposant qu'il existe un modele de ZF, alors il existe un modele de ZFC, et aussi un modele de ZF+"tous les sous ensembles de R sont lebesgue mesurable", qu'on appelera ZFL. Dans ZFC, pour construire un ensemble non mesurable E, on utilise l'axiome du choix pour choisir un unique représentant de chaque classe modulo Q dans R (comme indiqué par mathelot). Ainsi cet ensemble E n'existe pas dans l'ensemble R du modele de ZFL, car il contredirait l'axiome L. Il existe donc dans R de ZFC des ensembles "inateignables" comme E, ensemble que l'on ne pourra jamais exhiber car sinon on pourrait se passer de l'axiome du choix et ainsi le construire dans ZF, ce qui prouverait ZFL contradictoire car E est non mesurable.
De la meme facon, si on travaille dans ZFC+negation de HC, on ne pourra jamais exhiber un ensemble de cardinal compris entre N et R, car dans ce cas on pourrait exhiber le meme dans ZF et cela contredirait l'indécidabilité de HC.

Ainsi R possede des sous ensembles dans certains modeles de ZF qui n'existent pas dans d'autres modeles, et inversement, car on ne s'autorise pas construire n'importe quoi. Caractériser tous les sous-ensembles de R est donc impossible dans notre systeme d'axiome, car ces sous ensembles ne sont pas les memes selon le modele choisi (si tant est qu'il existe un modele ZF).

J'ai bon, j'ai bon?

[Ben314]

C'est... tout à fait ça : le seul truc à comprendre, c'est que, de la même façon qu'il n'y a pas UN SEUL modèle d'espace vectoriel réel, ni UN SEUL modèle de groupe commutatif, et ben il n'y a pas UN SEUL modèle de ZF, ni de ZFC, ni de ZFC+HC et que, dans chaque modèle, il y a un ensemble "nommé" R et que ce n'est pas le même à chaque fois (en fait, même l'ensemble des entiers N n'est pas le même dans chaque modèle)

[Pafapafadidel]

Je suis tombé par hasard sur un lien concernant mon contre-exemple au Théoreme de Fubini et son rapport a ZFC et l'indécidabilité de HC:

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_statements_undecidable_in_ZFC

voir a "measure theory". Apparement, un théoreme de Fubini "plus fort" ,stipulant que la fonction doit etre seulement mesurable par rapport aux daux mesures itérées mais pas forcément par rapport a la mesure produit, est indécidable dans ZFC. Mon contre-exemple prouve sa non prouvabilité grace a l'ajout de HC justement.

[Ben314]

Effectivement, en regardant l'article de Wiki, je comprend (trés nettement) mieux l'intérêt du résultat dont tu parlait dés ton premier post.

[Pafapafadidel]

Je re(rerere)lande le débat sur ce post, car le sujet me parait lié. Je suis tombé au cours de mes recherches sur la logique mathématique et la théorie des ensembles, sur le paradoxe de skolem (voir ici ). Je ne comprends pas du tout comment ils résolvent le paradoxe. Pourtant, vu comment c'est formalisé dans l'article, cela parait tres simple.

[Doraki]

Quel paradoxe ?

Si ZFC est consistente, il y a un modèle dénombrable de la théorie des ensembles, qui, en très gros, contient tous les ensembles que l'on peut décrire par une formule.

Vu de l'extérieur, il y a donc un nombre dénombrable d'ensembles (il y a un nombre dénombrable de formules).
On pourrait donc dire qu'il y a une bijection entre N et P(N),
mais cette "bijection" n'est pas un ensemble du modèle, et donc n'existe pas dans le modèle.
Tu ne peux pas la construire à l'intérieur de ZFC parcequ'il n'y a pas de formule qui puisse décider de la validité de chaque formule.
Il ne peut pas exister de "table de vérité de ZFC" à l'intérieur de ZFC, et quand on suppose qu'on a un modèle, ben ça nous en donne une, et c'est avec ça on fait un modèle dénombrable.