N-gone inclus dans un autre

par **Nightmare** » 11 Fév 2013, 19:56

Salut,

si un n-gone est inclus dans un autre n-gone, son périmètre est-il nécessairement plus petit? Si non, est-ce vrai pour certains n particuliers et/ou si l'on suppose le n-gone régulier?

Est-ce vrai pour des figures en 3 dimensions? (où périmètre = somme des longueurs des arêtes)

par **beagle** » 11 Fév 2013, 20:24

j'ai cherché ngone:
http://www.google.fr/images?hl=fr&q=ngone&gbv=2&gs_l=heirloom-hp.3..0l10.1528.3151.0.3836.5.5.0.0.0.0.59.243.5.5.0...0.0...1c.1.5tPrKtlU8z4&sa=X&oi=image_result_group&ei=-DYZUYP8M8rI0AWb9oCIBw&ved=0CCoQsAQ

sinon c'est un polygone particulier?
qui est convexe?
On prend pas des trucs concaves ou croisés j'imagine?

par **Nightmare** » 11 Fév 2013, 20:27

Salut beagle,

n-gone = polygone à n côtés.

Et effectivement, on les considère convexes.

par **Doraki** » 11 Fév 2013, 20:55

Bah si ils sont convexes alors la réponse est oui (au moins dans le plan).
Si tu as deux formes convexes imbriquées, le périmètre de la forme a l'intérieur est inférieur à celui qui est à l'extérieur.

Ici on a des polygônes donc ça devrait se ramener (après avoir rajouté suffisemment de traits) à une successions d'inégalités triangulaires + des inégalités du genre AB+AC >= AD+DC si D est à l'intérieur du triangle ABC

par **Nightmare** » 12 Fév 2013, 02:22

Salut Doraki,

comment prouves-tu que que ça marche plus généralement pour deux convexes imbriqués?

par **willouuu** » 20 Fév 2013, 16:31

Je propose un truc vite fait.
Dans le cas où les polygones sont inscrits, on peut s'en sortir à coup d'inégalités triangulaire pour le montrer.

par **beagle** » 20 Fév 2013, 18:27

willouuu a écrit:Je propose un truc vite fait.
Dans le cas où les polygones sont inscrits, on peut s'en sortir à coup d'inégalités triangulaire pour le montrer.

Et quand ils ne sont pas inscrits,
alors on inscrit le petit dans un plus grand,
puis le plus grand on l'inscrit dans un autre jusqu'à un polygone enfin inscrit dans le grand de départ.

par **Archytas** » 20 Fév 2013, 19:02

Salut, je sais pas si ça marche mais dans la méthode d'exhaustion du cercle par Archimède on "encadre" le périmètre du cercle par les périmètres de polynômes à n cotés qui forment des suites adjacentes lorsque n augmente. Donc si on appelle a le périmètre du petit polygone et b celle du grand

d'après le fait que ce soit des suites adjacentes donc quelque soit le nombre de coté l'inégalité reste stricte.
C'est mal formuler désolé, j'espère que vous avez compris l'idée !

par **Judoboy** » 21 Fév 2013, 22:32

Doraki a écrit:Bah si ils sont convexes alors la réponse est oui (au moins dans le plan).
Si tu as deux formes convexes imbriquées, le périmètre de la forme a l'intérieur est inférieur à celui qui est à l'extérieur.

Moi aussi ça m'intéresse ça.

par **Nightmare** » 22 Fév 2013, 02:36

Je viens de tomber sur la [url="http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Crofton"]formule de Crofton[/url], je ne connaissais pas ce résultat vraiment intéressant.

Avec cette formule le résultat de Doraki est immédiat.

N'a-t-on pas plus élémentaire?

par **Nightmare** » 22 Fév 2013, 14:02

beagle a écrit:Et quand ils ne sont pas inscrits,
alors on inscrit le petit dans un plus grand,
puis le plus grand on l'inscrit dans un autre jusqu'à un polygone enfin inscrit dans le grand de départ.

Je me suis dit ça aussi, mais cette suite d'inscription est-elle toujours possible?

N-gone inclus dans un autre

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