Géométrie vectorielle

[mich123]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un numero
Je ne sais pas par ou commencer, veuillez m'aider svp!
Je dois prouver que U=[(x,y,z)| x ≤ 0] est un sous-espace vectoriel de R^3

[Ben314]

Salut,

a) C'est pas la bonne section pour ce type de question.

b) De quel type de "sous espace de R^3" parle tu ?
A priori, sans le moindre contexte comme ici, je serais tenté de penser qu'il s'agit de "sous espace vectoriel" ou de "sous espace affine", mais ça colle absolument pas avec le reste de ton laïus vu que :
- Déjà, il n'y a aucune question à se poser concernant le "par ou commencer" vu que la définition donne une suite d'axiomes et qu'il suffit de regarder s'ils sont vérifiés ou pas.
- Ensuite, il est immédiat que le U dont tu parle n'est pas un sous espace vectoriel (car non stable par multiplication par le scalaire -1) ni même un sous espace affine (vu qu'il contient le vecteur nul, si s'en était un, ce serait aussi un sous espace vectoriel)

[mich123]

Bonjour,
a) peux-tu m'éclaircir stp et me dire dans quelle section dois-je poser ma question, merci!
b) En effet, il s'agit de déterminer si U=[(x,y,z)| x ≤ 0] est un sous-espace vectoriel de R^3. Désolé de ne pas avoir préciser. Si je comprends bien ce que tu me dis, les conditions applicables dans ce cas-ci prouvent qu'il ne s'agit pas d'un sous-espace vectoriel ?

[Ben314]

a) Les section dédiées aux question du type "exercice", c'est plutôt "Supérieur"

b) Par définition, une partie U d'un espace vectoriel E est un sous espace vectoriel de E lorsque :
- U est non vide : c'est évidement vrai ici.
- U est stable par addition, c'est à dire que la somme de deux éléments quelconques de U est encore dans U : c'est aussi clairement vrai ici vu que, si (x,y,z) est tel que x ≤ 0 et (x',y',z') est tel que x' ≤ 0 alors la somme des deux est (x+x',y+y',z+z') et, évidement, on a x+x' ≤ 0.
- U est stable par multiplication par les scalaires (=élément du corps de base, donc les réels ici), c'est à dire que le produit (externe) d'un scalaire quelconque par un éléments quelconque de U est encore dans U : ça, c'est clairement faux ici, vu que (-1,0,0) est dans U, mais que si on multiplie par le réel -1 le résultat (1,0,0) n'est pas dans U.

[mich123]

merci beaucoup!!