Géométrie : Nombre maximal de distances égales

[Jioupy]

Bonjour,

Je suis confronté un petit problème de géométrie dans le cadre d'un petit projet d'informatique. Le problème est le suivant :

Étant donné n points dans R², nous avons alors en tout arêtes distinctes (en supposant que tous les points sont différents).

Parmi toutes ces arêtes, certaines ont la même longueur, j'aimerai trouver le nombre maximum d'arêtes de même longueur. Ou plus précisément comment choisir les n points pour maximiser ce nombre.

Plus formellement, comment choisir p1, p2, ... ,pn pour maximiser :


Pour 3 points, nous avons m = 3 avec un triangle équilatéral.
Pour 4 points, m = 5 avec deux triangles équilatéral partageant un côté.
Ensuite ça devient un peu plus compliqué...
J'ai essayé une approche par récurrence, mais je n'arrive pas trop à passer de n points à n+1 points.

Est-ce que quelqu'un aurait une idée pour résoudre ce problème?
Ou peut-être un peu plus facile, trouver une borne inférieure. Une borne inférieure assez triviale est n-1, n-1 points sur un cercle et un point au centre. Mais je pense que cette borne est quand assez "basse".

Je ne sais pas si j'ai été très clair dans l'énoncé du problème, n'hésitez à me demander des précisions.

Merci d'avance.

[Ben314]

Salut,
J'aurais tendance à penser qu'une disposition "assez bonne" consite à mettre tout les points sur les sommets d'un "quadrillage" à base de triangles équilatéral en cherchant à remplir le plus complètement possible un hexagone régulier ou bien un losange...

Déjà, ça donne une borne inf.

[miikou]

salut je dirais des triangles equilateraux ..

[Ben314]

Si je m'est pas gourré (j'ai fait ça vite fait...), en prenant un hexagone :
Si le nombre de sommet s'écrit n=3p²-3p+1+r avec 0=