Géométrie - cube en équilibre

[Geckoo1337]

Bonjour à tous. Je voudrais vous soumettre une question dont je suis sûr, vous aurez la réponse, car elle concerne l'une des géométries les plus basiques - le cube. Afin qu'un cube soit en équilibre sur une arête (ou plutôt qu'il en donne l'impression) il suffit d'appliquer sur l'un des axes une rotation de 45°. Néanmoins, je ne parviens pas à expliquer le même principe sur un des sommets. J'arrive à un résultat très convaincant, mais les rotations sont pour le moins étranges - je ne vois pas de corrélation ou de logique entre les angles.

Ma question est donc celle-ci. Afin de donner l'illusion qu'un cube est en équilibre sur l'un de ses sommets, quelles rotations doit-on appliquer sur les axes ? Il semblerait que deux axes suffisent. Merci beaucoup pour votre aide ++

[lyceen95]

Oui, 2 rotations suffisent.
C'est plus facile à visualiser en faisant le mouvement inverse.
Tu as ton cube en position d'équilibre, posé sur le sommet A.
Tu prends une des 3 arêtes, issues de ce point A, et tu vais tourner le cube autour de cette arête, jusqu'à ce qu'une des 2 autre arêtes repose sur la table.
Puis l'autre mouvement est évident.
Quels sont les 2 angles, c'est une autre question !

[Geckoo1337]

Merci beaucoup pour ta réponse. La méthode que tu décris est celle que j'utilise. En fait, en imaginant un cube posé sur une face Vector3(0,0,0), je parviens à un résultat acceptable en appliquant les rotations suivantes 35, 30, 45. Mais la question demeure - quelle est la règle mathématique ?

[lyceen95]

Ici, tu travailles avec 3 rotations.
Essayons avec 2 rotations.
Et en l'occurrence, les 2 rotations pour passer d'un cube en équilibre à un cube à plat.
Pour le 1er mouvement.
On a notre cube, qui s'appuie sur le sommet A, on a l'arête AB qui va être l'axe de rotation, et les 2 arêtes AC et AD.
On peut introduire les points C' et D', tels que A soit le milieu de CC' et aussi de DD'. Par symétrie, c'est à peu près clair que cette rotation est une rotation de 45°
Une fois arrivé sur une arête, quel est l'angle pour le ramener à plat.
On peut trouver l'angle entre AB et la verticale.

Prenons le cube en équilibre. Le point tout en haut est à quelle hauteur ? à , c'est la longueur de la diagonale du cube Et le point B, il est à quel hauteur ? A 1 tiers de cette hauteur. ( toutes les arêtes ont la même pente).
On a donc l'angle entre AB et la verticale :
Et donc on a l'angle de notre autre rotation.

[Geckoo1337]

Merci. C'est très intéressant - un peu complexe pour moi. Néanmoins, il me vient une pensée. N'aurions-nous pas aussi sur l'arête l’hypoténuse du triangle A (sommet sur le plan - le point d'équilibre), sommet B (l'une des quatre pointes extérieures quelconque) et C (la projection de B Sur le plan en angle droit). Objectivement, AB serait l’hypoténuse puisque j'ai BC en angle droit. C'est aussi un moyen de parvenir à l'équilibre, je pense. Pour chaque sommet, la même variable BC pour la même hypoténuse. C'est laborieux comme méthode, mais pourquoi pas

[lyceen95]

C'est ce que j'ai fait... mais présenté de façon légèrement différente.

Si on prend comme toi le point B" (tu l'appelles C, je préfère l'appeler B"), qui est à la verticale de B, la projection de B sur le plan horizontal, on a bien un triangle rectangle avec comme hypothénuse la longueur AB. mais on a une difficulté, on n'a pas trop de moyen de calculer la longueur AB".
Mais on connaît la longueur BB". C'est ce que j'ai calculé, la longueur BB" vaut

Le triangle dont tu parles, avec comme hypothénuse AB, on peut le compléter pour faire un rectangle, de diagonale AB. Pour ça, on rajoute un 2ème triangle, avec exactement les mêmes dimensions, et la même hypothénuse.
Dans mon explication, je parlais en fait de ce 2ème triangle.

Et dans ce 2ème triangle, la longueur verticale, celle qui vaut , on a des moyens pour la visualiser, et pour dire qu'elle vaut 1 tiers de la diagonale du cube, et donc ou encore , c'est le même nombre.

[Geckoo1337]

Merci beaucoup pour tes explications. C'était vraiment captivant. Sur le vif, ça semble simple à réaliser, mais dans la pratique, c'est assez laborieux. Je te remercie pour le temps et l'énergie que tu m'as consacrés. Je te souhaite le meilleur ++