Généralisation Triangle de Pascal (identités remarquables)

[laFriteduBelge]

Bonsoir tout le monde (et joyeux Noël à l'avance) !

Je me présente. Je me pseudo-nomme laFritduBelge et je suis actuellement en 5ème année de l'enseignement général (Belgique), ce qui correspond à la première en France, si je ne m'abuse ! Pour résumer les choses, une de mes principales aspirations dans la vie est de pratiquer les mathématiques et de développer mes compétences au maximum ! J'ai donc une véritable passion, et encore le mot est faible !

Je poste ce message car je voudrais partager un travail. En effet, j'élabore une fiche-mémoire que j'accrocherai à mon mur et qui concerne l'utilisation du Triangle de Pascal à des fins de développement des identités remarquables de type (a + b)^n. Bien que je sois en possession de règles générales qui émanent de ma professeure, j'aime bien reformuler lesdites règles à ma manière.

Je voudrais faire confirmer une de mes reformulations de ce théorème du Triangle de Pascal. Je ne sais pas si vous avez besoin d'un support visuel pour comprendre ce qui va suivre. Si c'est le cas faîtes le moi savoir.

Voici ma généralisation : La somme de deux réels a et b élevée à la puissance n est un polynôme de type x0a^n + x1a^(n-1)b + x2a^(n-2)b² + ... + x0b^n où les coefficients, notés x, correspondent aux valeurs répertoriées dans le Triangle de Pascal ! Excusez d'ores et déjà le manque de limpidité de cette expression algébrique.

Merci !

[jonses]

Salut,

Si j'ai bien compris (mais peut-être que je suis à côté de la plaque), on a :

Pour tous réels a et b, et tout entier naturel n :



Cette égalité est appelé en France "binôme de Newton" qu'on peut écrire de manière condensée (et avec les explicités) par :



Si tu veux le démontrer, le plus simple à mon avis c'est par récurrence :lol3:

[laFriteduBelge]

Merci jonses pour ta réponse rapide. Ta formule est exactement celle communiquée par ma professeure. Cependant, malgré mon goût pour les mathématiques, je n'ai pas un niveau exceptionnellement élevé pour le moment. Je suis mon cursus peinard ! Par conséquent, je ne me maître pas tant que ça la notation que tu as développée ci-dessus. Mais je vais essayer. À mon sens, on peut traduire littéralement cette formule par : La somme allant de la puissance n à k = 0 (limite de n vers 0) avec des puissances de n décroissantes en a et croissantes en b.


PS : Pourrais-tu m'expliquer le sens de la démonstration par récurrence ?

[nodjim]

le (nk) vertical est le symbole de la combinatoire. Apparemment, tu ne connais pas encore. Patiente encore qq années.

[laFriteduBelge]

Han. Alors c'est mon professeur qui n'est pas très pédagogue mdr ! Si je ne connais pas encore, comment comprendre une telle formule. Pourrais-tu m'expliquer grossièrement ?

[jonses]

Je vais essayer d'expliquer mais j'espère ne pas embrouiller les esprits...

La somme allant de la puissance n à k = 0 (limite de n vers 0) avec des puissances de n décroissantes en a et croissantes en b.

Voilà en gros, le gros sigma c'est une manière plus rapide et condensée pour écrire une somme avec des pointillés

le qui se lit "k parmi n" (avec k et n des entiers naturels tels que ) peut être vu de plusieurs façons :

Soit tu considères que c'est : (mais est-ce que tu as vu les factorielles ? ça m'étonnerait un peu)

Soit tu considères que c'est le nombre de parties à k éléments d'un ensemble à n éléments (mais ça m’étonnerait encore plus que tu aies eu des cours sur le dénombrement et la théorie des ensembles)

PS : Pourrais-tu m'expliquer le sens de la démonstration par récurrence ?

Dans une démonstration par récurrence on fait en deux étapes :
on initialise d'abord, c'est-à-dire qu'on montre que la propriété à démontrer est vraie au rang 0 (ou à un autre rang,1 ou 2, etc.)
Puis on suppose que la propriété est vraie à un certain rang entier n, et on montre qu'elle est alors vraie au rang n+1

Mais encore, tu verras tout ça plus tard, et de manière plus claire

[laFriteduBelge]

Je pense avoir compris. En fait, c'est un condensé de mon développement (j'ai tendance à me compliquer la vie, ce qui est inconvenable dans le domaine mathématique). Donc, ok pour la généralisation du binôme de Newton (tout comme en Belgique, et partout dans le monde d'ailleurs vu que les mathématiques sont internationales).

Pour ce qui est de la démonstration par récurrence, je pense là aussi avoir bien saisi le message. Si je ne m'abuse, c'est le même principe que la détermination d'un énième terme d'une suite arithmétique ou géométrique, notée u(n), de raison r (par exemple, dans une suite arithmétique de raison égale à 2 : u(1) = 2, u(2) = 4, donc on peut affirmer que u(32) = u(1) + (n-1).2 = 2 + 62 = 64) ?

Merci beaucoup !

PS : C'est en ces jours de fête qu'on reconnaît les vrais passionnés haha ! Joyeux Noël quand même, mais les mathématiques n'attendent pas !

[jonses]

Je pense avoir compris. En fait, c'est un condensé de mon développement (j'ai tendance à me compliquer la vie, ce qui est inconvenable dans le domaine mathématique). Donc, ok pour la généralisation du binôme de Newton (tout comme en Belgique, et partout dans le monde d'ailleurs vu que les mathématiques sont internationales).

T'inquiète pas, tu auras tout le temps de voir ces notations et le binôme de newton

Pour ce qui est de la démonstration par récurrence, je pense là aussi avoir bien saisi le message. Si je ne m'abuse, c'est le même principe que la détermination d'un énième terme d'une suite arithmétique ou géométrique, notée u(n), de raison r (par exemple, dans une suite arithmétique de raison égale à 2 : u(1) = 2, u(2) = 4, donc on peut affirmer que u(32) = u(1) + (n-1).2 = 2 + 62 = 64) ?

Si tu considères que est le premier terme de la suite arithmétique de raison 2 c'est bien ça, tu peux montrer par récurrence que :

Joyeux Noël

Merci Joyeux Noël à toi aussi !

[Ben314]

...Par conséquent, je ne me maître pas tant que ça la notation que tu as développée ci-dessus...

Juste une "mini" remarque : le fameux symbole "sigma", tant qu'il te reste "un peu mystérieux", je te conseille de l'utiliser quand même ET d'écrire à coté la même chose avec des points de suspensions (exactement ce qu'à fait jonses dans son post de 22h54)
Au bout d'un certain temps (variable...) tu ne ressentira plus le besoin de réécrire à coté la même chose avec des points de suspensions et... ça sera tout bon...

Mais :
a) Il ne faut pas chercher à "griller les étapes" et à immédiatement vouloir tout écrire avec uniquement le symbole sigma.
b) Il ne faut pas non plus dire "fontaine je ne boirais jamais de ton eau" et décréter que tu écrira tout le temps les trucs avec des points de suspension parce que "le symbole sigma c'est trop compliqué"

[laFriteduBelge]

Ben314, j'ai bien lu ton message et je prends volontiers ce conseil. Si telle est la notation, alors je l'adopterai bien évidemment. Quand je reformule les choses non-conventionnellement c'est simplement pour moi-même. De manière formelle, je respecte les notations internationales. Étant donné que j'ai compris le développement de jonses, je l'adopterai à l'avenir. Merci encore !!!