Formule directe de Distance moyenne dans un semi

[QualCitizen]

Bonjour,

Je cherche de l'aide à propos d'un problème qui devra sans doute paraître simple aux mathématiciens chevronnés de ce forum, mais contre lequel je butte, faute de connaissances suffisantes en mathématiques.

Voici de quoi il retourne.

Dans le cadre de mes recherche (je suis chercheur en géographie), je souhaite "mettre au point" une formule de calcul (qui existe sans doute déjà, mais je ne sais pas la chercher) qui me permette de déterminer la distance euclidienne moyenne au sein d'un semi régulier de points, et ce en fonction de trois paramètres : la forme du semi, la distance "d'un module de base" du semi, la taille du semi (nombre de points).

Par exemple, on dispose des points selon une grille à mailles carrées, chaque carré mesurant un centimètre de côté.
Le nombre de distances mesurables est en principe de n(n-1)/2. Dans la distance moyenne, ce serait à mon sens le dénominateur. Mais quant au numérateur, je vois à peu près comment l'écrire sous la forme d'une somme de i = 1 à n(n-1)/2 de distances euclidiennes, mais je cherche une formule directe, une fonction dont les variables seraient, je pense :

- le nombre de points (ça donne l'échelle de l'espace ainsi définit)

- la distance de base de 1cm, qui donne le "pas", l'écart entre les plus proches voisins (en fait, je préfèrerais même fonctionner pour ce "pas" avec la distance moyenne aux 8 voisins de "premier rang", PasPlusProchesVoisins = (2/(1+;)2))PasVoisinsPremRang = 8,28 mm pour un PasVoisinsPremRang de 1ccm ; ceci pour être dans une situation comparable au semi hexagonal, où les voisins de premiers rang sont aussi les plus proches)

- un terme qui caractérise la forme du maillage.
L'idée est que cette forme de maillage puisse changer, et passer à un maillage hexagonal. Cette approche vient du fait que je me suis dit que si le maillage est régulier, alors toute coordonnée peut se déduire de la précédente, si on parcours le semi. Ceci car on fait l'hypothèse que l'on ne connait pas les positions des points, mais seulement leur principe de répartition.
Mais peut-être faut-il obligatoirement avoir des formules différentes pour des formes de semi différentes...

Dans mon exploration du problème, sans doute pas très "pro", j'ai d'abord envisagé de calculer la somme des distances d'un quartier du semi (un quart, en haut à droite de la grille par exemple) au point central. Je ne suis pas certain que c'était une bonne méthode, ni que ça m'aurait mené sur la voie de l'approche générale. Mais je ne suis pas allé bien loin. Tout ce que j'ai pu faire, c'est calculer la somme des distance pour les points se trouvant sur l'horizontale et sur la diagonale des mailles à partir du point central, avec des factorisation par un nombre triangulaire d'ordre n (n étant le nombre de points). Si a est le côté d'un carré de base, donc la distance entre deux points plus proche voisins, on avait donc des choses du genre : a.n(n+1)/2 et a;)2(n(n+1)/2 et en additionnant, on factorise par et on a (1+a;)2).n(n+1)/2
Enfin, je crois... Et quoiqu'il en soit, ça ne me mène pas très loin, si ce n'est sur ce forum ;-)

Quelqu'un pourrait-il m'aider à établir cette formule ?
Merci pour vote aide.

PP.

[fatal_error]

salut,

un algo.
Soit P l'ensemble des points que l'on connait.
soit C le point central.

Code: Tout sélectionner

distanceMoyenne = 0;
nbDistances = 0;
d_totale = 0;
pour p in P, p !=C
 d_totale += d(C,p);
 nbDistances++;
finpour
distanceMoyenne = d_(totale)/nbDistances

Ici, ton probleme c'est de déterminer une fonction générale pour d(C,p).
On par exemple exprimer, dans le cas d'un maillage carré, p en fonction des coordonnées de C :

où on a une translation du point C sur x et y pour atteindre p.
On en déduit la distance d(C,p)
, valable pour tout a et b, mettons <=n si on pose C dans un coin et n la taille du maillage.
cqui nous amene donc à


sous réserve que la somme des n^2 donne bien n(n+1)(n+2)/6

Dans le cas de l'hexagonal, je pense qu'on peut faire de même

[Ericovitchi]

la somme des n² c'est n(n + 1)(2n + 1) / 6

[mathelot]

Bonjour,

l'idée est la suivante

si z=x+iy est un point à coordonnées entières
que le maillage est de la forme

on se place dans l'anneau A, on définit un stathme et une sorte de
division euclidienne, de manière à avoir un reste



Le reste appartient alors au parallélogramme de base
(motif du semi) contenant l'origine.

D'après mes souvenirs,certains anneaux ont un stathme et une division
qui ressemble à la division euclidienne,d'autres non.

mot clés: stathme euclidien, anneau d'entiers, anneau euclidien, pavage
régulier du plan