Fonctions réciproques

[moki45]

Bonjour,
J'aurais une question a propos de la symétrie des fonctions réciproques.
Je sais qu'elles sont symétriques par rapport à l'axe y=x mais comment le démontre t-on? Merci

[capitaine nuggets]

Salut !

Oui, c'est vrai pour des fonctions de dans , mais attention quand les ensembles de départ et d'arrivé sont restreint : par exemple, la fonction carré et racine carré.

Le symétrique d'un point par rapport à la droite d'équation est .
Etant donnés et , et sont symétrique par rapport à la droite d'équation si et seulement si et , c'est-à-dire et , ce qui est bien le cas.

[Ben314]

Salut,
A la limite, je rajouterais bien que cette fameuse "symétrie par rapport à la droite y=x", elle est uniquement liée au fait que, conventionnellement, quand on fait le graphe d'une fonction A -> B=f(A) on met l'axe des A à l'horizontale (vers la droite) et l'axe des B à la verticale (vers le haut).
Et comme le graphe de f^(-1) c'est exactement le même que celui de f mais qu'on lit dans l'autre sens, c'est à dire dans le sens B -> A=f^(-1)(B), si on veut respecter la convention disant qu'un graphe ça se lit dans le sens "axe horizontal -> axe vertical", ben il faut inverser les axes c'est à dire faire une symétrie par rapport à la bissectrice des axes (qui est bien la droite y=x).
Mais dans pas mal de contextes, c'est infiniment plus malin de ne pas respecter la convention et de juste dire que le graphe de f et celui de f^(-1) c'est très exactement les mêmes, sauf qu'on les lit pas dans le même sens.

Par exemple, si tu prend la courbe de f : x -> y=x^2, on a f'(x)=2x donc f'(3)=6 et la tangente à la courbe en (x=3,y=9), c'est la droite d'équation y=6x-9 (le -9 venant du fait qu'elle doit passer par (3,9)).
Donc la tangente à la courbe de f^(-1) : y -> x=racine(y) [qu'on écrit bien sûr comme une fonction y->x et pas x->y] au point de coordonnées (y=9,x=3) ben c'est exactement la même vu que c'est la même courbe, à savoir y=6x-9, sauf qu'il faut écrire l'équation dans le sens y->x, c'est à dire sous la forme x=y/6+3/2 et ça te dit par exemple que f^(-1)'(9)=1/6.

[nodgim]

Y a un truc vraiment pratique avec la fonction réciproque lorsqu'une suite Un est une fonction f de la seule variable U(n-1). En dessinant le graphe de f et sa réciproque, on se rend compte tout de suite du devenir de la suite.