Fonctions croissantes dérivée nulle

[quinto]

Allo,
peut-on trouver une fonction strictement croissante sur R, dérivable presque partout et de dérivée nulle ?
Si oui, la construire.
C'est assez instructif et amusant.
Attention, l'escalier du diable n'est pas une solution...

[alben]

Bonjour,
Oui c'est impressionnant mais on part quand même de l'escalier du diable, du moins dans ce que j'ai pu trouver sur le net.

[quinto]

Salut,
j'aimerais bien que tu m'envoies le lien.
Moi j'ai une solution qui n'utilise pas du tout l'escalier du diable.

Liront ceux que ça n'intéresse pas de chercher:

Soit {x_1,...,x_n,...} l'ensemble des rationnels et soit

La mesure
est une mesure de probabilité sur R.
On pose alors qui vérifie les propriétés recherchées.

Sauf erreur.

[nuage]

Salut quinto,
que désigne tu par ?

La mesure est une mesure de probabilité sur R.

Je te crois volontiers, mais une démonstration me serait utile.

D'avance merci
nuage :

[alben]

Bonjour
@nuage : est habituellement la fonction de Dirac mais ici elle ressemble à une fonction indicatrice (valeur 1 au lieu de l'infini en x_n).

Ce que j'ai trouvé : la construction est proche de celle de Quinto mais en plus compliqué
ici
celle-ci semble plus accessible
celui-ci
En tout cas c'est intéressant mais je n'ai pas encore regardé tout ça en détail

[quinto]

Bonjour
@nuage : est habituellement la fonction de Dirac mais ici elle ressemble à une fonction indicatrice (valeur 1 au lieu de l'infini en x_n).

Salut,
non c'est bien le dirac mais supporté par x_n.
Je n'ai pas trop le temps en ce moment, mais un peu plus tard, j'essaierais de te donner la démonstration nuage.

[quinto]

Salut,
dans les grandes lignes:
Clairement on a une fonction positive définie sur les boréliens de R.
Pour montrer l'additivité dénombrable il suffit d'utiliser le théorème de Tonelli qui permet d'intervertir deux intégrales (et donc deux sommations) dès que toutes les quantités mises en jeu sont positives.

Pour voir que la masse totale est 1, c'est presqu'immédiat, on somme des 1/2^qqchose, la encore comme tout est positif, peu importe l'ordre de sommation, et qqchose parrcourt N, donc la masse totale est 1.

[cesar]

Allo,
peut-on trouver une fonction strictement croissante sur R, dérivable presque partout et de dérivée nulle ?
Si oui, la construire.
C'est assez instructif et amusant....

en effet, si vous trouvez une fonction qui soit à la fois strictement croissante et de derivée nulle, vous êtes tres fort...

[quinto]

Alors ça a l'air que je suis très fort

[cesar]

Alors ça a l'air que je suis très fort

mais est ce que tu sais faire la difference entre une fonction et une distribution ???? .... sauf erreur de ma part, ta solution est une distribution pas une fonction...

[guadalix]

Vous êtes trop fort pour moi en math... j'arrete de venir ici...

[quinto]

Salut,
non c'est bien une fonction.
D'ailleurs la dérivée (au sens classique ou de Radon Nikodym) est nulle p.p. tandis qu'au sens distributionnelle, sa dérivée ne l'est pas (C'est justement la mesure s).

Pourquoi serait-ce une distribution ?
Je prend un x réel et je l'envoie sur un autre réel, c'est bien une fonction.
Une distribution est un élément du dual de l'espace des fonctions infiniement dérivables à support compact.

[cesar]

Je prend un x réel et je l'envoie sur un autre réel, c'est bien une fonction.
Une distribution est un élément du dual de l'espace des fonctions infiniement dérivables à support compact.

si l'on suppose cela vrai, prend un x fixé et donne nous la valeur de f(x), meme sous forme algebrique...Ce doit être possible si c'est une fonction, d'autant plus que Q est denombrable...ensuite, montre nous qu'elle est derivable en ce point (au sens des fonctions...), ce qui me semble délicat à faire, car elle est fortement discontinue - Q est dense dans R- , et montre nous que sa dérivée est nulle (tu l'as dit, mais pas démontré... et je me mefie beaucoup des évidences...)

[nuage]

Salut cesar,
La fonction proposée par quinto est dérivable presque partout dans , mais pas pour les valeurs rationnelles.
Quand a donner des valeurs il faudrait expliciter une bijection entre et ce qui n'est pas évident.
Personnellement je n'en connais pas explicitement.

A+

[quinto]

si l'on suppose cela vrai, prend un x fixé et donne nous la valeur de f(x), meme sous forme algebrique...Ce doit être possible si c'est une fonction, d'autant plus que Q est denombrable...ensuite, montre nous qu'elle est derivable en ce point (au sens des fonctions...), ce qui me semble délicat à faire, car elle est fortement discontinue - Q est dense dans R- , et montre nous que sa dérivée est nulle (tu l'as dit, mais pas démontré... et je me mefie beaucoup des évidences...)

Théorème de Radon-Nikodym...
Visiblement tu ne veux pas me croire. Je m'en fou un peu, j'ai pas vraiment envie de faire la preuve, ce n'est vraiment pas intéressant.
Dans le même genre, il y'a l'escalier de Cantor, qui a grosso modo les mêmes propriétés.
Ce qui compte c'est que cette fonction existe, de toute facon c'est assez standard et si j'ai eu l'idée de construire cette fonction, l'existence d'une fonction strictement croissante dérivable p.p. de dérivée nulle n'est pas de moi... Tu ne sembles pas avoir confiance, tant pis.
a+

[quinto]

Quand a donner des valeurs il faudrait expliciter une bijection entre et ce qui n'est pas évident.
Personnellement je n'en connais pas explicitement.

A+

Salut,
on peut en trouver une explicitement entre N et N^2, mais ce n'est pas nécessairement très pertinent pour le reste.
Je pense que l'idée essentielle est celle de l'existence.

a+

[cesar]

, j'ai pas vraiment envie de faire la preuve, ce n'est vraiment pas intéressant.

a+

c'est comme cela que l'on commet des erreurs de calcul, en n'étant pas rigoureux ... mais c'est ton probleme....

Dans le même genre, il y'a l'escalier de Cantor, qui a grosso modo les mêmes propriétés.
a+

l'escalier de Cantor n'est pas "strictement" croissant, mais "simplement" croissant, et à derivée nulle, ce qui change tout....

[quinto]

Je ne sais pas trop pourquoi tu t'obstines à ne pas vouloir me croire.
Je n'ai pas envie de faire la preuve parce que c'est très technique, mais c'est un résultat on ne peut plus connu en analyse et en théorie de la mesure.
Ouvre un bouquin sur le sujet, par exemple Real and Complex Analysis de Rudin et tu auras la démo.

Théorème:
Soit x dans R^k et soit E_i(x) une suite d'ensemble qui rétrecit convenablement sur x. si est une mesure borélienne complexe, alors on sait (Lebesgue-Radon-Nikodym) que et on a alors



Et encore une fois, il est connu aussi que de telles fonctions existent. (Exercice 7 chapitre 7 du même livre)

Au lieu de cracher sur mon exemple sans argument, montre que ce n'est pas une fonction qui vérifie les propriétés requises...

Tu t'acharnes contre mon exemple, mais tu n'es pas capable de montrer qu'il est faux parce qu'il est bon.
Je te ramene donc à ta citation, la base des maths est un raisonnement rigoureux. Ici aucun raisonnement ne t'amene à montrer que ma fonction est mal définie.
Je pense que tu refuses juste de croire qu'une telle fonction existe, n'est-ce pas ?

[quinto]

c'est comme cela que l'on commet des erreurs de calcul, en n'étant pas rigoureux ... mais c'est ton probleme....

....

Avec le théorème que je viens de citer (et que tu peux trouver dans tout bon cours avancé de mesure), la preuve est triviale n'est-ce pas ?

J'ai construit ma mesure comme ayant une partie absolument continue nulle et comme étant supportée par un sous ensemble dense. De plus, puisqu'elle est finie, ma fonction est finie partout.
En appliquant le théorème, ma fonction est de dérivée nulle presque partout et strictement croissante, CQFD

[quinto]

Puisque selon toi, une telle fonction ne peut exister, montre le nous .