Fonctions croissantes dérivée nulle

[nuage]

Salut quinto

Salut,
...
Je pense que l'idée essentielle est celle de l'existence.

Je suis d'accord avec toi : l'existence d'une bijection entre et suffit à prouver l'existence de la fonction que tu propose. Mais si on veut donner des valeurs numériques (ce que demande cesar) il faut expliciter cette bijection. Et ça c'est plus dur.

A+

[quinto]

Salut,
oui bien sur.
En fait, je ne me risquerais pas à proposer quoique ce soit dans cette direction, ça semble beaucoup trop complexe...

[alben]

Bonsoir,

Oui, la fonction proposée est bien dérivable presque partout et nulle là où elle existe. Cela donne une fonction qui va de 0 à 1 en faisant des sauts (de puce) sur les rationnels.
Il n'est pas trop difficile de construire une bijection entre N² et N (en plaçant les n² premiers entiers dans un carré n x n par exemple) et l'on pourrait utiliser cette injection i de Q+ dans N pour évaluer la fonction de quinto
Le problème, c'est qu'il faudrait être capable de déterminer tous les rationnels inférieurs à un réel donné... et ça ce n'est pas possible.
Ca n'empêche que l'on sait que f(x) prend une valeur finie comprise entre 0 et 1.
D'ailleurs, on est encore plus incapable de calculer la valeur des autres fonctions que j'avais trouvées sur le net et qui partent des ensembles diadique et triadique de Cantor.
Bravo et merci donc à Quinto.

[nuage]

Salut,

...
Il n'est pas trop difficile de construire une bijection entre N² et N (en plaçant les n² premiers entiers dans un carré n x n par exemple) et l'on pourrait utiliser cette injection i de Q+ dans N pour évaluer la fonction de quinto...

Juste une remarque :
Le fait que

prouve qu'il existe une bijection de dans , mais ne la construit pas. Personnellement je n'en ai jamais vu, ni trouvé malgré quelques (courtes) recherches.

...Le problème, c'est qu'il faudrait être capable de déterminer tous les rationnels inférieurs à un réel donné... et ça ce n'est pas possible...

Je crois voir ce que tu veux dire :
>
C'est une objection assez forte à la possibilité de donner une bijection explicite entre
Mais dire que ce n'est pas possible en général me semble abusif : voir la définition de par les coupures, à titre d'exemple.

Amicalement
nuage :

[alben]

Bonsoir Nuage
Pour construire la fonction de Quinto, on n'a pas besoin d'une bijection, une injection suffit.
Bien sur, elle n'ira pas de zéro à 1 mais de zéro à ai(p/q)
avec i(p/q)=q²+2q-p si p<q et i(p/q)=p²+p-q sinon
La valeur de la fonction f définie par quinto (et un peu bricolée) sera donc

On ne peut pas en calculer les valeurs mais ce n'est pas parce que l'on ne peut pas trouver de bijection