Fonction continue et monotone sur un I, mais non dérivable e

[Bastien L.]

Bonjour!


Nous avons été confrontés en cours à ce problème, qui est assez sidérant:


Soient la fonction définie sur par , et la fonction défine sur par et en 0 par .

En effet, un calcul de limites montre qu'on obtient ainsi une fonction continue sur .

La dérivée de sur est celle de ; on a: .


Or, cela veut dire que la dérivée de tend vers - l'infini en 0.

Dans ces conditions, comment peut-elle admettre un minorant en 0 (Je rapelle qu'elle tend vers 1 en 0, que ce soit par valeurs positives ou par valeurs négatives)?

Je savais qu'une fonction continue pouvait ne pas être dérivable parce-qu'elle ocille de plus en plus lorsqu'on zoome, par exemple, mais, là, ça me pose problème! Elle est monotone et continue mais non dérivable!



Y a-t-il une erreur (par exemple, considérer que la dérivée de au voisinage de 0 est la même que celle de , même en limites, sans se poser plus de questions), ou est-ce bien cela? Comment est-ce possible? Qu'en pensez-vous?

[Bastien L.]

En effet, mais il est plus facile d'envisager une croissance virtuellement infinie en un point qui est une borne de l'intervalle de définition d'une fonction, que d'envisager une croissance virtuellement infinie en un point qui appartient à l'ensemble de définition d'une fonction, d'abscisse et d'ordonnée bien définies, par lequel elle passe, mais venant de la gauche sans discontinuité, et allant vers la droite sans discontinuité…

Ne pensez-vous pas qu'on puisse faire une erreur en cherchant à élargir la limite de en 0 pour trouver celle de en ce point, alors que c'est justement un (le) point où n'est pas directement définie à partir de ? Autrement dit, le caractère infini de la limite de lorsque tend vers 0 a-t-il vraiment tout le sens qu'on voudrait lui donner?

[abcd22]

Bonjour,
Il y a des fonctions très simples qui sont strictement monotones, continues et non dérivables en un point : par exemple la fonction f telle que f(x) = x si x >= 0 et f(x) = 2x si x < 0 n'est pas dérivable en 0 et C infinie ailleurs.
L'idée intuitive qu'on se fait des fonctions concerne en fait des fonctions très régulières, avec quelques singularités au plus (et ce n'est qu'au XIXe siècle que les notions de continuité, dérivabilité, etc. ont été formalisées et utilisées rigoureusement), en réalité il y a des fonctions qui ont des propriétés très peu intuitives, il existe par exemple des fonctions :
-- définies sur R et continues nulle part (l'indicatrice de Q) ;
-- définies sur R, discontinues sur les rationnels et continues sur les irrationnels (par exemple f(x) = 0 si x est irrationnel, f(p/q) = 1/q pour les rationnels, avec pgcd(p, q) = 1 et q > 0);
-- continues sur un intervalle et dérivables nulle part ;
-- continues sur [0, 1], valant 0 en 0 et 1 en 1, et à dérivée nulle sur un ouvert dense ;
-- continues surjectives de [0, 1] dans [0, 1]².

[Bastien L.]

Oui…

Une des choses qui me dérangent dans cet exemple, c'est que grosso modo on dit que n'est pas dérivable en 0 parce-que la limite de la dérivée de y est infinie, mais [TEXT] f [TEX] n'y est pas définie…

Les autres exemples, pour autant que j'arrive à les comprendre, ne me paraissent pas si gênants que celui-ci…

[abcd22]

En effet, mais il est plus facile d'envisager une croissance virtuellement infinie en un point qui est une borne de l'intervalle de définition d'une fonction, que d'envisager une croissance virtuellement infinie en un point qui appartient à l'ensemble de définition d'une fonction, d'abscisse et d'ordonnée bien définies, par lequel elle passe, mais venant de la gauche sans discontinuité, et allant vers la droite sans discontinuité*

Racine carrée est parfaitement définie en 0, en quoi la tangente verticale est-elle plus difficile à imaginer pour racine carrée que pour la fonction qui vaut racine carrée pour x >= 0 et pour x négatif (prolongement par une symétrie centrale) ?

Ne pensez-vous pas qu'on puisse faire une erreur en cherchant à élargir la limite de en 0 pour trouver celle de en ce point, alors que c'est justement un (le) point où n'est pas directement définie à partir de ? Autrement dit, le caractère infini de la limite de lorsque tend vers 0 a-t-il vraiment tout le sens qu'on voudrait lui donner?

En lisant ça, et surtout en relisant :

Or, cela veut dire que la dérivée de g tend vers - l'infini en 0.
Dans ces conditions, comment g peut-elle admettre un minorant en 0 ?

j'ai l'impression que tu confonds la fonction et sa dérivée. « La dérivée de g tend vers - l'infini », ce n'est pas pareil que « g tend vers moins l'infini ».

[abcd22]

Une des choses qui me dérangent dans cet exemple, c'est que grosso modo on dit que n'est pas dérivable en 0 parce-que la limite de la dérivée de y est infinie, mais [TEXT] f [TEX] n'y est pas définie*

On peut parler de la limite de f' en 0 puisque f' est définie sur R-{0}, de la même façon qu'on peut parler de la limite de f en 0. Et tant qu'on ne sait pas si g est dérivable en 0 ou pas, c'est exactement pareil de parler de la limite de f' en 0 ou de la limite de g' en 0, les deux sont définies et égales sur R-{0}.

[Bastien L.]

Au niveau graphique, la courbe ne peut pas admettre une tangeante verticale ailleurs qu'à une borne de son intervalle de définition, pourtant…

[echevaux]

Salut

Au niveau graphique, la courbe ne peut pas admettre une tangeante verticale ailleurs qu'à une borne de son intervalle de définition, pourtant…

Que penser de

[miikou]

on est au café mathematiques et non pas dans la section lycée !

[abcd22]

Au niveau graphique, la courbe ne peut pas admettre une tangeante verticale ailleurs qu'à une borne de son intervalle de définition, pourtant*

Ben si, on t'a justement donné des exemples de fonctions qui ont une tangente verticale ailleurs qu'à une borne de leur intervalle de définition.

[Bastien L.]

Bonsoir, bonsoir…

Hier 19h27
miikou
on est au café mathematiques et non pas dans la section lycée !

Je me suis permis de poster ici car c'est le côté pitoresque de la chose qui m'inétresse, mais je n'en ai pas besoin absolument pour le lycée… Cependant, je comprends que la question puisse être considérée comme trop "triviale" pour avoir sa place ici… Si un modérateur pense ainsi, je suppose qu'il la déplacera…

Sinon, merci pour vos réponses. J'ai besoin de réfléchir un peu…


À bientôt!