Familles libres / liées

[leon1789]

Salut à tous,

Notation : E est un K-espace vectoriel.

Il y a un truc qui m'étonne : pourquoi, dans tous les livres, brochures, cours, etc, commencent-on toujours par
(1) définir les familles libres, puis
(2) définir les familles liées comme étant pas libres.

Je me demande bien pourquoi car il me paraît bien plus simple de définir les familles liées (infinies ou finies) puis ensuite les familles libres étant pas liées.

Voici mes arguments :

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Imaginez expliquer à des néophytes les définitions suivantes :

une famille est libre lorsque :


une famille est liée lorsque :


La seconde semble logiquement plus simple, non ?

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Imaginez donner un exemple :

La famille de fonctions , est liée sur R.
En effet, on vérifie facilement (= via un calcul) que .

La famille de fonctions , est libre sur R.
Il faut faire un effort (= un raisonnement) pour le vérifier !!


Je veux dire par là que vérifier qu'une famille est liée peut se faire rapidement quand on connait (une fois pour toute) une relation de dépendance linéaire. Alors que vérifier qu'une famille est libre, demandera toujours un raisonnement (à chaque fois) afin de prouver l'absence de relation de dépendance linéaire : ceci me paraît plus compliqué que vérifier une égalité...

--

D'ailleurs, en écrivant ces lignes, ne voit-on pas que "être liée" est une propriété "positive" (il existe une relation) alors que "être libre" est une propriété "négative" (il n'existe pas de relation) ? Dira-t-on qu'une propriété "négative" est plus simple qu'une propriété "positive" ??

Pourquoi dire qu'une famille liée est la négation d'une famille libre, si c'est en réalité le contraire ?...

--

Qu'en pensez-vous ?

[Nightmare]

Euh, j'en pense que tu te prends la tête non? :happy3:

Il est vrai que montrer la liberté est peut être un poil plus difficile que montrer la dépendance linéaire mais de là à se plaindre qu'on introduise l'une avant l'autre, surtout qu'on ne peut pas réellement dire ça étant donné qu'elles sont souvent introduites en même temps, à 1 minute près ...

Quoi qu'il en soit, je ne sais pas si tu auras remarqué, mais c'est quand même généralement les familles libres qui nous intéressent non? Pour former des bases par exemple, on pourrait penser qu'elles ont peut être plus d'importance que les familles liées, et c'est aussi pour cela qu'on peut se permettre de définir une famille liée en l'opposant à cette propriété plus importante qui est la liberté.

Enfin bref, concrètement je pense qu'on s'en fiche. Encore, si l'on voyait la notion de primitive venir avant la notion de dérivation, là il y aurait un problème, mais ici, il n'y en a pas vraiment.

:happy3:

[leon1789]

Euh, j'en pense que tu te prends la tête non? :happy3:

Peut-être, mais je m'étonne (et je m'interroge) sur le fait que partout on donne une définition un peu "compliquée" au lieu d'en prendre une un peu plus "simple"...

Il est vrai que montrer la liberté est peut être un poil plus difficile que montrer la dépendance linéaire mais de là à se plaindre qu'on introduise l'une avant l'autre, surtout qu'on ne peut pas réellement dire ça étant donné qu'elles sont souvent introduites en même temps, à 1 minute près ...

Le problème n'est pas la minute, mais tout simplement l'ordre logique.

S'il n'y avait aucune importance dans l'ordre d'apparition des deux notions, on verrait tantôt définir familles libres, puis familles liés, tantôt l'autre sens.
Or ce n'est pas le cas... Etonnant, non ? (c'est la minute nécessaire de Mr Cyclopède :ptdr:)

Quoi qu'il en soit, je ne sais pas si tu auras remarqué, mais c'est quand même généralement les familles libres qui nous intéressent non?

Pour former des bases par exemple, on pourrait penser qu'elles ont peut être plus d'importance que les familles liées, et c'est aussi pour cela qu'on peut se permettre de définir une famille liée en l'opposant à cette propriété plus importante qui est la liberté.

Je ne vais pas dire que la liberté est une propriété pas intéressante, mais les familles liées ont aussi une grande importance. C'est assez amusant de voir que fréquemment, dans les démos, on utilise des familles liées, et que, dans les énoncés, on parle de familles libres. Non ?

Prenons un exemple.
Diagonaliser une matrice, quel bonheur : une base de vecteurs propres...
Ok, une base est une famille libre. Mais comment a-t-on obtenu ces vecteurs propres ? Grâce à un système d'équations liées, provoquant l'existence de vecteur (propre) dans un noyau !
Puis-je dire que sans familles liées, il n'existerait pas de base de diagonalisation (quelle tristesse) ? D'ailleurs, un théorème annonce qu'une matrice est diagonalisable si et seulement si ses espaces propres sont de dimensions "correctes" (i.e. certaines équations sont "suffisament" liées).

Enfin bref, concrètement je pense qu'on s'en fiche.

Si on s'en fiche, pourquoi toujours prendre le même chemin ? surtout qu'il y en a un autre qui, a priori, est un peu plus simple... sauf qu'il met en avant les familles liées (i.e. l'existence de relation, au lieu de la non-existence).

Encore, si l'on voyait la notion de primitive venir avant la notion de dérivation, là il y aurait un problème, mais ici, il n'y en a pas vraiment.

En partant du principe que les familles libres sont la seule bonne notion, je suis d'accord.

[Doraki]

Je ne dirais pas que l'une est plus simple que l'autre puisqu'elles sont la négation l'une de l'autre.

C'est en effet facile de vérifier qu'une famille est liée, mais à condition d'avoir déjà la relation de liaison à disposition.
Trouver cette relation est toute la complexité du problème.

A priori, pour trouver si une famille est libre ou liée, on cherche à montrer que la famille est libre, et en cas d'échec, on peut généralement en déduire la relation de liaison et montrer que la famille était en fait liée.

Si tu essayes de faire l'inverse en général, ben t'es obligé de prendre des inconnues pour tes relations de liaison et en fait tu es en train d'essayer d'échouer à prouver la liberté de la famille, et reconstruire ensuite quels sont les coefficients dont tu as besoin.

Le résultat final est certes plus simple et plus facilement utilisable quand tu as une famille liée (t'as un témoin de preuve concret qui fait échouer la liberté de la famille) que quand tu as une famille libre (tu as une preuve abstraite que la famille est libre), mais la manière dont tu cherches ça est toujours basé sur la notion de famille libre.

Prouver qu'une famille est libre est plus facile que prouver qu'une famille liée,
et dualement, utiliser un résultat de liberté est plus difficile qu'utiliser un résultat de liaison.

[leon1789]

Je ne dirais pas que l'une est plus simple que l'autre puisqu'elles sont la négation l'une de l'autre.

Personnellement, je vois une double négation dans
[CENTER]>[/CENTER]
et non dans
[CENTER]> [/CENTER]

C'est en effet facile de vérifier qu'une famille est liée, mais à condition d'avoir déjà la relation de liaison à disposition.
Trouver cette relation est toute la complexité du problème.

Ok, en général, il faut chercher pour trouver une relation, je comprends bien ce que tu dis, mais logiquement parlant, les méthodes pour déterminer une relation ne font pas l'objet de la définition.

A priori, pour trouver si une famille est libre ou liée, on cherche à montrer que la famille est libre, et en cas d'échec, on peut généralement en déduire la relation de liaison et montrer que la famille était en fait liée.

Si tu essayes de faire l'inverse en général, ben t'es obligé de prendre des inconnues pour tes relations de liaison et en fait tu es en train d'essayer d'échouer à prouver la liberté de la famille, et reconstruire ensuite quels sont les coefficients dont tu as besoin.

Je ne comprends pas bien ce que tu veux dire dans ces deux paragraphes : quand je veux savoir si une famille est libre ou liée, je prends une relation de dépendance abstraite avec des scalaires inconnus,
, puis je cherche à cerner les inconnues :
- s'il existe une solution "particulière", alors la famille est liée.
- si la seule solution est triviale, alors la famille est libre.

Le résultat final est certes plus simple et plus facilement utilisable quand tu as une famille liée (t'as un témoin de preuve concret qui fait échouer la liberté de la famille) que quand tu as une famille libre (tu as une preuve abstraite que la famille est libre), mais la manière dont tu cherches ça est toujours basé sur la notion de famille libre.

Oui, on pose , et on voit ce que ça implique... et cela rappelle la définition des familles libres. Je suis d'accord.
Donc, pour toi, l'intérêt de prendre d'abord la définition des familles libres repose sur le fait que l'on y voit une ébauche de méthode de recherche ? ok. ... ok.

Prouver qu'une famille est libre est plus facile que prouver qu'une famille liée,
et dualement, utiliser un résultat de liberté est plus difficile qu'utiliser un résultat de liaison.

??? :hein: rien compris là :happy2:

[leon1789]

Prouver qu'une famille est libre est plus facile que prouver qu'une famille liée

Bof.
Je prends un exemple calculatoire cette fois : la méthode du pivot de Gauss pour échelonner une matrice.

Si les vecteurs de la matrice sont libres alors on ne le saura uniquement qu'à la fin de l'échelonnement total (quelles que soient les opérations effectuées).

Mais si les vecteurs sont liés, avec un peu de chance, on le verra bien avant d'avoir effectué l'échelonnement complet.

[Doraki]

Personnellement, je vois une double négation dans

[CENTER]>[/CENTER]
et non dans
[CENTER]> [/CENTER]

Bah on peut aussi voir ça comme[CENTER]
>
>[/CENTER]

logiquement parlant, les méthodes pour déterminer une relation ne font pas l'objet de la définition.

Certes mais alors logiquement parlant, je vois pas ce qu'un "quelque soit" a de plus compliqué qu'un "il existe".
Les deux notions sont la négation l'une de l'autre, tant qu'on les introduit en même temps, ça me va. Vouloir mettre l'accent sur l'une plutot que l'autre, je pense pas que ça apporte quelquechose. Il ne faut pas chercher à voir ça comme deux notions différentes.

Aussi, j'ai peut-être fait trop de logique, mais "logiquement parlant" je me fiche pas mal de ce que veulent dire les définitions, et pour moi ce qui est important c'est les manières de prouver, et les manières d'utiliser, ces définitions.

Je ne comprends pas bien ce que tu veux dire dans ces deux paragraphes : quand je veux savoir si une famille est libre ou liée, je prends une relation de dépendance abstraite avec des scalaires inconnus,
, puis je cherche à cerner les inconnues :
- s'il existe une solution "particulière", alors la famille est liée.
- si la seule solution est triviale, alors la famille est libre.

J'avoue que je comprends pas bien ce que je veux dire dans le deuxième paragraphe.

Tu fais la même chose lorsque tu veux voir si la famille est libre ou liée. C'est ce qui compte.
Je pensais juste que pour prouver formellement un "il existe une liaison" tu dois donner la liaison explicitement alors qu'on la connait pas forcément, alors que ce qu'on fait est beaucoup plus proche d'un début de preuve "pour toute liaison, la liaison est triviale",
en introduisant une liaison abstraite, puis en faisant des calculs dessus.
Mais bon les preuves formelles c'est justement pas assez proche parfois de ce que l'on fait en vrai.

Oui, on pose , et on voit ce que ça implique... et cela rappelle la définition des familles libres. Je suis d'accord.
Donc, pour toi, l'intérêt de prendre d'abord la définition des familles libres repose sur le fait que l'on y voit une ébauche de méthode de recherche ? ok. ... ok.

Je ne prendrai pas ça comme argument pour dire que la notion de famille libre est plus simple ou plus primitive que la notion de famille liée.

??? :hein: rien compris là :happy2:

Ben dans tout ce qui précédait j'ai parlé de ce qu'on faisait quand on voulait prouver la liberté ou la liaison d'une famille, et j'ai dit qu'on se calquait toujours sur la notion de famille libre.

A l'inverse, si tu as prouvé qu'une famille est liée, tu gagnes immédiatement accès à une liaison non triviale concrète de ta famille que tu as le droit d'utiliser dans la suite.
Si tu as prouvé qu'une famille est libre, ben tu peux pas faire grand chose avec, tu dois attendre de tomber sur quelque chose qui pourrait être une liaison pour dire "haha ! cette liaison est donc triviale et tous les coefficients sont nuls"
Et de ce point de vue là, c'est la notion de famille liée qui apparaît plus pragmatique.

[leon1789]

Les deux notions sont la négation l'une de l'autre, tant qu'on les introduit en même temps, ça me va. Vouloir mettre l'accent sur l'une plutôt que l'autre, je pense pas que ça apporte quelque chose. Il ne faut pas chercher à voir ça comme deux notions différentes.

Et pourtant il y a des différences, comme tu l'expliques très bien :

(...)si tu as prouvé qu'une famille est liée, tu gagnes immédiatement accès à une liaison non triviale concrète de ta famille que tu as le droit d'utiliser dans la suite. [COLOR=Black][c'est ce que je place du coté de l' existence]

Si tu as prouvé qu'une famille est libre, ben tu peux pas faire grand chose avec [c'est ce que je place du coté de l' inexistence], tu dois attendre de tomber sur quelque chose qui pourrait être une liaison pour dire "haha ! cette liaison est donc triviale et tous les coefficients sont nuls"[/COLOR]

Je te suis à 100% .

Aussi, j'ai peut-être fait trop de logique, mais "logiquement parlant" je me fiche pas mal de ce que veulent dire les définitions,

Hum, tu as peut-être tord là pédagogiquement parlant, car la définition, c'est comme la première voix que l'on entend : elle reste en nous :we: .
Cela dit, c'est aussi tout le reste qui permet de comprendre, ok.

Je pensais juste que pour prouver formellement un "il existe une liaison" tu dois donner la liaison explicitement

Ben normalement, si l'on maitrise correctement la manière de prouver l'existence d'une liaison, on doit pouvoir l'expliciter concrètement. Mais là, c'est une autre histoire peut-être...

Ben dans tout ce qui précédait j'ai parlé de ce qu'on faisait quand on voulait prouver la liberté ou la liaison d'une famille, et j'ai dit qu'on se calquait toujours sur la notion de famille libre.

Ok, je vais y réfléchir.

[abcd22]

(...)si tu as prouvé qu'une famille est liée, tu gagnes immédiatement accès à une liaison non
triviale concrète de ta famille que tu as le droit d'utiliser dans la suite. [c'est ce que je place
du coté de l' existence]
Si tu as prouvé qu'une famille est libre, ben tu peux pas faire grand chose avec [c'est ce que je
place du coté de l' inexistence], tu dois attendre de tomber sur quelque chose qui pourrait être
une liaison pour dire "haha ! cette liaison est donc triviale et tous les coefficients sont nuls"

Je te suis à 100% .

Ce qui est important dans la notion de famille libre n'est pas l'inexistence de relation de liaison en elle-même mais l'unicité d'une décomposition linéaire d'un vecteur dans cette famille qui en est la conséquence immédiate, et l'unicité en maths c'est au moins aussi important (et utile) que l'existence (si tous les modules étaient libres au lieu qu'on ait seulement une surjection pour tout A-module M et un certain ensemble I dépendant de M, l'étude des modules serait bien plus simple...).

[leon1789]

Ce qui est important dans la notion de famille libre n'est pas l'inexistence de relation de liaison en elle-même mais l'unicité d'une décomposition linéaire d'un vecteur dans cette famille qui en est la conséquence immédiate, et l'unicité en maths c'est au moins aussi important (et utile) que l'existence (si tous les modules étaient libres au lieu qu'on ait seulement une surjection pour tout A-module M et un certain ensemble I dépendant de M, l'étude des modules serait bien plus simple...).

Oui, c'est certain.
(Et qui dit unicité d'écriture, dit somme directe...)

Imaginons quelqu'un cherchant des définitions les plus parlantes possibles :id: Est-ce que ces définitions vous choquent ? Et parlent-elles ?

>

Puis corollaire :
>



On ne peut pas dire que cela ressemble aux choses habituelles des manuels de première année...

[leon1789]

Oui, c'est certain.
(Et qui dit unicité d'écriture, dit somme directe...)

Je résume pour moi :

Une famille est libre lorsque la somme est directe : unicité de l'écriture (et par convention, le vide est libre :hum: ) .

Une famille est liée lorsqu'un appartient à l'espace vectoriel engendré par les autres (donc toute famille famille contenant 0 est liée).

Des vecteurs sont libres si et seulement si la seule relation entre eux est triviale.
Des vecteurs sont liés si et seulement s'il existe une relation entre eux autre que la relation triviale.
Si bien que les notions de familles libres et liées sont "contraires" l'une de l'autre.

[leon1789]

Ce qui est important dans la notion de famille libre n'est pas l'inexistence de relation de liaison en elle-même mais l'unicité d'une décomposition linéaire d'un vecteur dans cette famille qui en est la conséquence immédiate, et l'unicité en maths c'est au moins aussi important (et utile) que l'existence (si tous les modules étaient libres au lieu qu'on ait seulement une surjection pour tout A-module M et un certain ensemble I dépendant de M, l'étude des modules serait bien plus simple...).

oui, et non...
si v_1...v_n sont libres alors K v_1 + ... + K v_n est une somme directe , mais la réciproque est fausse (à cause du vecteur nul)

[leon1789]

Ce qui est important dans la notion de famille libre n'est pas l'inexistence de relation de liaison en elle-même mais l'unicité d'une décomposition linéaire d'un vecteur dans cette famille qui en est la conséquence immédiate, et l'unicité en maths c'est au moins aussi important (et utile) que l'existence (si tous les modules étaient libres au lieu qu'on ait seulement une surjection pour tout A-module M et un certain ensemble I dépendant de M, l'étude des modules serait bien plus simple...).

Si tu veux parler des modules, alors là, la notion de famille libre est nettement plus forte que la notion de sous-modules en somme directe (à cause de la torsion éventuelle des sous-espaces).

[miikou]

ah tiens pourquoi on introduit la notion d'ouvert avant celle de fermé ?
c'est une question de gout ..

[leon1789]

c'est une question de gout ..

Alors mon goût change avec le temps :zen:

[leon1789]

...de goût, peut-être, mais pourquoi tout le monde a le même ?

Bon, prenons un exemple : dans cette discussion
http://maths-forum.com/showthread.php?t=71426
on demande de prouver qu'une partie d'une famille libre est libre.

L'étudiant n'a visiblement pas compris la définition d'une famille libre puisqu'il confond => avec la réciproque. Cette erreur est classique. Il est donc loin de prouver le résultat demandé.

En revanche, il paraît prêt à démontrer qu'une sur-famille d'une famille liée est liée, et ce en considérant une relation (non triviale) entre les vecteurs.

On voit bien sur cet exemple que manipuler une relation non triviale entre vecteurs est plus simple (pour l'étudiant) que de prouver l'absence de relation dans une famille libre.

[abcd22]

L'étudiant n'a visiblement pas compris la définition d'une famille libre puisqu'il confond => avec la réciproque. Cette erreur est classique. Il est donc loin de prouver le résultat demandé.

C'est classique et ça n'a rien à voir avec l'ordre de définition des familles libres et liées (ni même avec la définition qu'on en donne, car dans la pratique pour montrer qu'une famille est libre il faudra souvent montrer qu'une combinaison linéaire qui donne 0 est à coefficients nuls, et c'est la compréhension de cette méthode qui pose problème), c'est un problème de logique : confusion entre « pour tous » et « il existe », entre les implications directes et réciproques, entre les hypothèses et ce qu'on veut montrer...
Par ailleurs dans mon message plus haut je critiquais uniquement le fait que vous disiez qu'un résultat de liaison était plus utile qu'un résultat de liberté, ce qui n'a rien à voir avec la facilité à appréhender et manipuler ces concepts.

[leon1789]

Comment expliquez-vous que cet étudiant se sente plus à l'aise avec les familles liées (quitte à faire un raisonnement par l'absurde quand on lui parle de famille libres) ??? J'ai constaté le phénomène régulièrement et je ne crois pas au hasard... il y a une explication.

Pourquoi tout le monde commence par définir les familles libres en premier, puis les familles liées comme étant pas libre. Là aussi il y a une raison, et pas de hasard visiblement.

C'est classique et ça n'a rien à voir avec l'ordre de définition des familles libres et liées (ni même avec la définition qu'on en donne, car dans la pratique pour montrer qu'une famille est libre il faudra souvent montrer qu'une combinaison linéaire qui donne 0 est à coefficients nuls, et c'est la compréhension de cette méthode qui pose problème), c'est un problème de logique : confusion entre « pour tous » et « il existe », entre les implications directes et réciproques, entre les hypothèses et ce qu'on veut montrer...

Justement, c'est là le problème pédagogique que je voulais soulever. Ne vaut-il pas mieux commencer par définir les familles liées ? Par exemple pour ce genre de personne qui ne comprennent pas une définition plus "abstraite" (c'est le mot employé par l'étudiant pour qualifier la définition d'une famille libre !!).

Ensuite, on peut montrer ce qu'il se passe quand on cherche une relation avec une famille qui n'est pas liée. On s'aperçoit qu'on obtient une relation triviale. Mais cela demande une explication, et non une définition.

[leon1789]

En suivant les liens donnés par Zavonen dans d'autres discussions, je suis tombé sur cette page
http://gilles-dubois.developpez.com/Maths/algebre_lineaire/libres.html
où là on définit d'abord les familles liées, puis les familles libres.
Je trouve que c'est suffisamment rare pour être signalé. :id:




---
En revanche, sur le même site, on lit :

http://gilles-dubois.developpez.com/Maths/algebre_lineaire/defev.html
>
C'est étrange et je ne vois pas pourquoi (en algèbre linéaire ?).

http://gilles-dubois.developpez.com/Maths/algebre_lineaire/generateurs.html
où on ne définit que des systèmes générateurs uniquement finis.

Zavonen, si tu passes par là... :zen:

[skilveg]

>
C'est étrange et je ne vois pas pourquoi (en algèbre linéaire ?).

Est-ce que ce n'est pas pour que les formes multilinéaires antisymétriques soient alternées? Sinon c'est vrai que c'est étrange, il me semble bien qu'on ne met jamais "soit un corps de caractéristique différente de 2" dans les résultats sur le déterminant...

Par ailleurs, il est faux que la théorie de l'orthogonalité ne se place que dans ou (en tout cas après la spé); en revanche là la caractéristique intervient fortement.