Extensions de corps.

[ychema]

salut,est ce que tout extension finie de degré superieur à 2 du corps des réels
lR est algébriquement clos? merci.

[MathMoiCa]

Salut,

Une extension de corps peut aussi se dire "étirement"

Sinon, va en section "supérieur", c'est ptet plus approprié ~


M.

[leon1789]

Une extension finie ok, mais commutative ou pas ?

[ychema]

soit K un corps, on appelle extension de K tout corps L tel que K est un
sous corps de L.c'est facile de démontrer qu'une extension de k est un
espace vectoriel sur k.donc le degré d'une extension est défini par sa
dimension autant qu'un espace vectoriel sur K.
une extension est fini si son degré est fini.
par exemple le corps C des nm complexes est une extension fini de degré 2
de lR.admet 1 . i comme base.

[Imod]

C'est une bonne question , ce n'est pas le cas des réponses

Imod

[ffpower]

Si on parle bien d extension de degré finie et commutative alors il n y a que C(donc la reponse est oui^^).C est pas tres dur a montrer:Soit K une extension non triviale de R de degré fini.On va d abord montrer que -1 a une racine carrée dans K.Soit x0 dans K-R, P dans R[X] son polynome minimal sur R.Les poly irreductibles sur R sont de degré inferieur a 2.Comme x0 n est pas dans R,P est un polynome de degré 2,de discriminant negatif,disons P=X²+bX+c avec b²-4c0),on obtient une racine carrée de -1 dans K. Maintenant K contient R et une racine carrée de -1 donc K contient C,et comme K est une extension algébrique de R et que C est algebriquement clos,et bien on a en fait K=C

[ychema]

Si on parle bien d extension de degré finie et commutative alors il n y a que C(donc la reponse est oui^^).C est pas tres dur a montrer:Soit K une extension non triviale de R de degré fini.On va d abord montrer que -1 a une racine carrée dans K.Soit x0 dans K-R, P dans R[X] son polynome minimal sur R.Les poly irreductibles sur R sont de degré inferieur a 2.Comme x0 n est pas dans R,P est un polynome de degré 2,de discriminant negatif,disons P=X²+bX+c avec b²-4c0),on obtient une racine carrée de -1 dans K. Maintenant K contient R et une racine carrée de -1 donc K contient C,et comme K est une extension algébrique de R et que C est algebriquement clos,et bien on a en fait K=C

merci. tu a montré que C est la seule extension de IR .
donc ta réponse de ma question est: il n'existe pas une extension de IR de
degré plus grand que 2, car tout extension de IR est identique à C.
c'est ça ou non?

[leon1789]

Extensions ... commutatives !

Oui, toute extension commutative finie (il faut comprendre de dimension finie) de R est soit triviale ( -> R) soit quadratique ( -> C)

Maintenant, il existe des extensions de dimensions plus grandes, mais non commutatives...

[leon1789]

C'est une bonne question , ce n'est pas le cas des réponses Imod

Ma réponse-question n'était peut-être pas si mauvaise finalement, si ?

[ffpower]

Ben disons qu en non commutatif je vois pas trop comment tu définit "algebriquement clos"..

[leon1789]

J'avoue que je n'y connais absolument rien en cadre non-commutatif, mais on peut toujours prendre la définition usuelle :
Un corps E est algébriquement clos lorsque tout polynôme non constant à coefficients dans E admet une racine dans E.

Bien sûr, un polynôme peut avoir davantage de racines que son degré, mais est-ce important ? (je ne pense pas.)

[leon1789]

Je pense que
-1 est un carré dans l'extension finie de R si et seulement si cette extension est algébriquement close.

Existe-t-il une extension finie de R, non commutative, dans laquelle -1 n'est pas un carré ????

[ffpower]

J avoue que je m y connais pas plus que toi lol(est ce qur ca existe au moins^^).Consider t on les polynomes comme somme de ak*x^k ou somme de b1*x*b2*x*...*x*bk?Et est ce que le corps des quaternions est algebriquement clos alors?beaucoup de questions ou j y connais rien lol

[leon1789]

Effectivement, comme tu le dis, pour un anneau A non commutatif, on peut considérer deux genres d'anneaux de polynômes A[X] :

-1- A[X] où X ne commute pas avec les coefficients : ça ne parait pas très commode à première vue.

-2- A[X] où X commute avec les coefficients : c'est davantage utilisable (...et c'est même utilisé pour faire une preuve ultra-rapide du théorème de Cayley-Hamilton avec des polynômes à coefficients dans l'anneau des matrices carrées NxN, cf . http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=56128 )

[yos]

Bonsoir.
J'ai pas tout lu, mais ça peut vous aider :
On se limite au cas d'extensions commutatives sinon c'est vraiment le désordre.

- une extension de degré finie de R est algébrique donc contenue dans une cloture algébrique de R donc dans C. J'ai un léger doute sur ce truc, pourtant je vois pas de faille.

- Par contre il y a plein d'extensions transcendantes (non algébriques), donc de degré infinie, par exemple C(X).

[leon1789]

Bonsoir.
J'ai pas tout lu, mais ça peut vous aider :
On se limite au cas d'extensions commutatives sinon c'est vraiment le désordre.

oui, d'où ma question au début du sujet

- une extension de degré finie de R est algébrique donc contenue dans une cloture algébrique de R donc dans C. J'ai un léger doute sur ce truc, pourtant je vois pas de faille.

non, il n'y a pas de faille : le résultat est correct

- Par contre il y a plein d'extensions transcendantes (non algébriques), donc de degré infinie, par exemple C(X).

Exactement, et c'est pourquoi il n'existe pas de corps maximal.

[yos]

J'avais un doute car il y a des bizarreries, par exemple des tas de sous corps de C d'indice 2.