Exp et Ln

[Joker62]

En fait, hier je m'endormais et j'me suis posé des questions sur ces deux fonctions : f(x) = e^x et g(x) = ln(x)

En fait, ce qui me dérangais le plus, c'était de savoir comment on les a intégrées dans les maths, pourquoi on les a créees et surtout comment ???

Et donc à partir de là, j'aurais voulu savoir si on a découvert que ln était en fait l'intégrale de 1/x etc... toutes les propriétés connues quoi

Donc voilà, c'était juste pour savoir si on a créer ces fonctions avec leurs propriétés, où qu'on les a créees et découvert leurs propriétés.

Merci

[sandrine_guillerme]

Bonjour joker !


Je me suis déjà posée la même question à mon prof de math .. il lui semble que ce sont les mathématiciens qui les ont inventé, et ln est plus ancienne que sa réciproque et ça me paraîssais raisonnable, certes, mais comme un endroit vaut mieux qu'un long discours :lol2:

je te demande de venir par ici stp ? :lol4:

[Joker62]

Ok donc Exp a été créee grâce à Ln, c'était soit l'un soit l'autre c'est bien lol
D'ailleurs il me semble qu'exp apparaît avant Ln dans le programme de terminale, mais je ne me rapelle plus bien.

Donc le problème est déblayé pour exp, maintenant pour ln donc

Comment l'a ton crée celle là
En disant simplement qu'elle définira la primitive de 1/x s'annulant en 1 ????
Mais alors, d'où on en tire les propriétés tel que ln(ab) = ln(a)+ln(b) ???

Enfin ça me paraît vraiment bizarre tout ça

[Dominique Lefebvre]

Comment l'a ton crée celle là
En disant simplement qu'elle définira la primitive de 1/x s'annulant en 1 ????
Mais alors, d'où on en tire les propriétés tel que ln(ab) = ln(a)+ln(b) ???

Enfin ça me paraît vraiment bizarre tout ça

Bonjour,

Le logarithme a été inventé par Neper (ou Napier, comme tu voudras) au début du 17eme, pour allèger les calculs!

D'après l'histoire, il serait parti de la relation trigo 2sin(x)sin(y) = cos(x-y) - cos(x+y)en remarquant qu'il était bien pratique de transformer un produit en somme.
Il a donc cherché une suite de nombres telle que le produit de deux de ces nombres puisse s'exprimer à l'aide de leur somme. Il a construit deux suites telle que l'une croît dans une progression arithmétique pendant que l'autre croît dans une progression géométrique.

Il a publié son travail en 1614 dans un bouquin "Description merveilleuse des règles des logarithmes" -je t'épargne le titre latin..

Il démontra en particulier que sur un intervalle ]0;1[ on a x< -ln(1-x) < x/1-x et aussi que pour 0<x<y on a (y-x)/y<ln(y)-ln(x)<(y-x)/x ce qui sert à interpoler les log sur notre célèbre "Bouvart et Ratinet" - les anciens comprendront...

Un peu plus tard (en 1617) avec Briggs, il inventa le log décimal et démontra log(xy) = log(x)+log(y).

C'est Newton qui plus tard trouva le DL de la fonction ln et celui de la fonction exp et fit le rapprochement avec l'aire limitée par un hyperbole.
Il semble que ce soit Liebniz qui le premier écrivit ln(x) = intégrale entre 1 et x de 1/t*dt.

Tout ça pour dire que l'invention des log tient d'un bête problème de technique calculatoire...

[Joker62]

Super intéressante comme histoire
En plus c'est bien raconté lol :p

Mais ça m'impressione quand même que l'on crée des choses qui finalement ont un rapport avec des choses existentes.

C'est vraiment pas mal les maths

[Dominique Lefebvre]

Mais ça m'impressione quand même que l'on crée des choses qui finalement ont un rapport avec des choses existentes.

C'est vraiment pas mal les maths

En l'occurence, Neper a inventé un outil mathématique pour se faciliter la vie, c'est à dire résoudre un problème pratique..

c'est fou comme on croise dans l'histoire des mathématiciens qui ont inventé des outils pour faciliter la vie de gens qui calculent, comme les physiciens! Si le sujet t'intéresse, tu peux te pencher sur l'histoire de la géométrie différentielle, et en particulier le calcul tensoriel, et son explosion suite aux besoins calculatoires générés par la théorie de la relativité générale.

[Joker62]

Si tu as des liens intéressants j'suis open parce que bon la géométrie différentielle, jamais entendu parler :^)

[cesar]

il y a une relation qui m'a toujours semblé par tres claire au niveau des exponentielles : c'est la relation exp(i*x) = cos(x) + i*sin(x)

je connais plusieurs demonstrations qui y menent et la demontrent, mais je ne saisis pas le sens profond de cette relation, le "pourquoi est ce ainsi". :marteau:
Car enfin, rien ne semble predisposer l'exponentielle a être liée à la trigonometrie... :party:

[emdro]

Eh si: les développement en série entière qui se ressemblent:
exp(x)=1+x+x²/2!+x^3/3!+x^4/4!+x^5/5!...
cos(x)=1....-x²/2!..........+x^4/4!...
sin(x)= ...x.........-x^3/3!...........+x^5/5!...

(les ........ pour aligner les termes)

[cesar]

Eh si: les développement en série entière qui se ressemblent:
exp(x)=1+x+x²/2!+x^3/3!+x^4/4!+x^5/5!...
cos(x)=1....-x²/2!..........+x^4/4!...
sin(x)= ...x.........-x^3/3!...........+x^5/5!...

(les ........ pour aligner les termes)

je connaissais déjà cette demonstration : elle n'explique pas le "pourquoi"...
mais la reponse ne doit pas être simple, sinon, elle figurerait dans les livres...et serait connue...car des générations de taupins et de prof utilisent et ont utilisé ces choses....

[emdro]

J'ai des difficultés à saisir quel "pourquoi" tu cherches:
*Le pourquoi des DSE à partir des exp cos et sin du lycée
*Le lien entre le cos défini comme partie réelle de x->exp(ix) et le cosinus du lycée

Eclaire-moi!

[Joker62]

Si je ne m'abuse, les séries entières de Sin et Cos sont déduit de celle d'exp complexe à partir de la relation e^(ix) = cos(x) + i.sin(x)

[sandrine_guillerme]

oui joker, je le confirme moi

[Joker62]

Donc normale qu'elles se ressemblent énormément

[sandrine_guillerme]

Mais tu as du le voir ça , en faisant le cours sur les séries non ?

il me semble que c'est le seul moyen de le démontrer .. !

[Joker62]

Oui oui ça se fait vite fait.
Même que pour le cos on peut dériver celle du sin
Enfin après y'a plein de techniques.

[sandrine_guillerme]

enfin un conseil,

évite de te poser des questions en t'endormant .. !

[Joker62]

Mais les grands génies font beaucoup de choses avant, pendant, après le sommeil

Un exemple avec la fameuse sieste de Newton ( Mythologique évidemment )

Comment j'me compare à un grand Homme quand même lol !

[Dominique Lefebvre]

J'ai des difficultés à saisir quel "pourquoi" tu cherches:
*Le pourquoi des DSE à partir des exp cos et sin du lycée
*Le lien entre le cos défini comme partie réelle de x->exp(ix) et le cosinus du lycée

Eclaire-moi!

Il me semble que la question posée est, en quelque sorte : "quelle est la signification profonde d'une relation entre une fonction analytique comme l'exponentielle et des objets trigonomètriques, donc géométriques". Pourquoi ce pont entre l'analyse et la géométrie?
D'abord, on pourrait demander à Euler! Après tout, c'est lui qui est responsable... Et puis il me semble que la théorie des nombres complexes (imaginaires..) pratiquement contemporaine d'Euler fournit une voie de réponse. Cette théorie n'avait elle pas pour objectif d'"algébriser" la géométrie...

[Flodelarab]

Moi, ce qui me fait rire, c'est que Neper était un informaticien avant l'heure: Il avait compris qu'il y avait des scripts qui permettait de faire le boulot en moins de temps et moins d'effort.
:ptdr:
Un bon gros flemmard, en somme. (ou en log du produit :ptdr:)

Le français est clair:
ln -> logarithme népérien
log -> logarithme décimal ( =ln(x)/ln(10) )
L'anglais est moins clair:
log -> logarithme népérien
Log -> logarithme décimal

Quand on lit un document, faut bien se demander le logarithme à utiliser