Existe t-il une formule ?

[MarcusStGraal]

Bonjour la communauté ,
Je me passionne pour les combinaisons de nombres par exemple :
1/ 1 -2-3-4-5
2/ 1-2-3-4-6
3/ 1-2-3-4-7
...
n/ ?
...
8568/ 14-15-16-17-18
Ma question est la suivante : existe t-il un moyen par le calcul de trouver la nième combinaison?

[Pisigma]

Bonjour,

si tu nous donnais encore quelques valeurs

1/ 1 -2-3-4-5
2/ 1-2-3-4-6
3/ 1-2-3-4-7
4/ ?
5/ ?
6/ ?
7/ ?
.
.
.
.
100/?

[lyceen95]

Dans l'esprit de l'OP, on a uniquement les nombres entre 1 et 18
Avec ces 18 nombres, on peut constituer 18*17*16*15*14/120=8568 groupes (a,b,c,d,e) avec (a<b<c<d<e),
et la combinaison n°8568 est donc la dernière : 14,15,16,17,18.
A partir d'un nombre n, on peut trouver la combinaison correspondante, sans avoir à lister toutes les combinaisons, mais c'est lourd.

Pas de temps maintenant... peut-être en fin de soirée ?

[lyceen95]

Imaginons n=4000 par exemple.

Il y a 17*16*15*14/24=2380 combinaisons qui commencent par un 1, 16*15*14*13/24=1820 combinaisons qui commencent par un 2 etc etc.
si n est inférieur ou égal à 2380, la combinaison commence donc par un 1
si n est entre 2381 et 2380+1820, la combinaison commence donc par un 2
etc etc
Et une seule qui commence par un 14.

Parmi toutes les combinaisons qui commencent par un 2, on peut aisément compter le nombre de combinaisons qui commencent par 2.3, 2.4 etc etc
Et on sait donc déterminer le 2ème nombre de notre combinaison.
Etc etc

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Les logiciels de calcul formel font ça. Je prends l'exemple du logiciel libre et gratuit SageMath :

Code: Tout sélectionner

S=Subsets(range(1,19),5)

S.cardinality()

8568

SageMath commence à numéroter à 0. Si on veut commencer à numéroter à 1, il faut prendre ses précautions.

Code: Tout sélectionner

def rang(L) :
    return S.rank(L)+1

rang({1,3,5,7,9})

665

Code: Tout sélectionner

def derang(n) :
    return S.unrank(n-1)

derang(4000)

{2, 9, 10, 12, 15}

[MarcusStGraal]

Bonjour,

si tu nous donnais encore quelques valeurs

1/ 1 -2-3-4-5
2/ 1-2-3-4-6
3/ 1-2-3-4-7
4/ ?
5/ ?
6/ ?
7/ ?
.
.
.
.
100/?

Bonjour Pisigma,
Merci pour ta réponse; un moyen simple d'avoir d'autres combinaisons est d'aller sur octave online par exemple (https://octave-online.net/) et de lancer la commande: nchoosek(1:18,5)

[MarcusStGraal]

Imaginons n=4000 par exemple.

Il y a 17*16*15*14/24=2380 combinaisons qui commencent par un 1, 16*15*14*13/24=1820 combinaisons qui commencent par un 2 etc etc.
si n est inférieur ou égal à 2380, la combinaison commence donc par un 1
si n est entre 2381 et 2380+1820, la combinaison commence donc par un 2
etc etc
Et une seule qui commence par un 14.

Parmi toutes les combinaisons qui commencent par un 2, on peut aisément compter le nombre de combinaisons qui commencent par 2.3, 2.4 etc etc
Et on sait donc déterminer le 2ème nombre de notre combinaison.
Etc etc

Merci lyceen95,
Cette approche est très intéressante, c'est la plus proche de ce que je cherche à obtenir; Je vais creuser dans ce sens

[MarcusStGraal]

Bonjour,

Les logiciels de calcul formel font ça. Je prends l'exemple du logiciel libre et gratuit SageMath :

Code: Tout sélectionner

S=Subsets(range(1,19),5)

S.cardinality()

8568

SageMath commence à numéroter à 0. Si on veut commencer à numéroter à 1, il faut prendre ses précautions.

Code: Tout sélectionner

def rang(L) :
    return S.rank(L)+1

rang({1,3,5,7,9})

665

Code: Tout sélectionner

def derang(n) :
    return S.unrank(n-1)

derang(4000)

{2, 9, 10, 12, 15}

Merci GaBuZoMeu,
C'est une solution mais ça ne répond pas à mon problème car en effet, je souhaite pouvoir le résoudre à la main par des calculs simples

[GaBuZoMeu]

Il y a des fois où une jolie formule permet de trouver facilement le résultat recherché. Et des fois où ça demande d'utiliser un algorithme plus ou moins coûteux. Lyceen95 en a esquissé un.
Ces algorithmes sont implémentés dans des systèmes de calcul formel. On peut bien sûr tenir absolument à les exécuter à la main ...

[MarcusStGraal]

Il y a des fois où une jolie formule permet de trouver facilement le résultat recherché. Et des fois où ça demande d'utiliser un algorithme plus ou moins coûteux. Lyceen95 en a esquissé un.
Ces algorithmes sont implémentés dans des systèmes de calcul formel. On peut bien sûr tenir absolument à les exécuter à la main ...

L' intérêt d'obtenir une formule ou un algorithme apparaît évident sur un très grand nombre de donnés par exemple des combinaisons de 5 numéros parmi 500; je ne pense pas qu'il n'y ait beaucoup de systèmes capables de donner la nième combinaison rapidement

[GaBuZoMeu]

Code: Tout sélectionner

S=Subsets(range(1,501),5)
S.cardinality()


255244687600

Code: Tout sélectionner

def derang(n) :
    return S.unrank(n-1)

%time derang(10**11)

CPU times: user 2.73 ms, sys: 682 µs, total: 3.42 ms
Wall time: 3.43 ms

{65, 228, 48, 435, 221}

Est-ce assez rapide ? Peux-tu espérer aller plus vite à la main ?