Exerice non résolu : Convolution

[Helder69]

Bonjour à tous,

J'aurais besoin de votre aide pour résoudre un problème qui m'a l'air simple, mais je n'arrive pas à trouver la solution.

Il y a une fonction f(x) localement sommable ayant une TF F(v).
Une fonction fv0(x) definit comme : fv0(x) = Int(F(v).exp(j2pixv)dv) intégrable entre +v0 et -v0

Il me demande de montrer que fv0(x) se deduit de f(x) par un opérateur de convolution que l'on explicitera.

On début j'avais pensé à la formule f(x) * h(x) = F(v).H(v). avec H(v) un rectangle de largeur 2v0.

En vous remerciant !

[fatal_error]

hello,

a priori
Int(F(v).exp(j2pixv)dv) de -l'infini a l'infini désigne la tf inverse de F.
si on a
Int(F(v)H(v).exp(j2pixv)dv), ca désigne la tf inverse de FH.
Idem en posant H ton rectangle, on a
Int(F(v)H(v).exp(j2pixv)dv) = TF-1(FH) = f(x)*h(x) (* operateur de convo)
et d'autre part
Int(F(v)H(v).exp(j2pixv)dv) = Int_-v0^v0 (F(v)exp(j2pixv)dv) = fv0(x)
d'ou on déduit
fv0(x)=f(x)*h(x)
avec h qui ressemble à un sinus cardinal mais qu'il faut expliciter

[Helder69]

D'accord, merci beaucoup !

C'est sur quoi j'étais parti mais j'ai bloqué qu'en me disant que la tf inverse de FH étais TF-1(F).TF-1(H) soit Int(F(v).exp(j2pixv)).Int(H(v).exp(j2pixv))

[Helder69]

hello,

a priori
Int(F(v).exp(j2pixv)dv) de -l'infini a l'infini désigne la tf inverse de F.
si on a
Int(F(v)H(v).exp(j2pixv)dv), ca désigne la tf inverse de FH.
Idem en posant H ton rectangle, on a
Int(F(v)H(v).exp(j2pixv)dv) = TF-1(FH) = f(x)*h(x) (* operateur de convo)
et d'autre part
Int(F(v)H(v).exp(j2pixv)dv) = Int_-v0^v0 (F(v)exp(j2pixv)dv) = fv0(x)
d'ou on déduit
fv0(x)=f(x)*h(x)
avec h qui ressemble à un sinus cardinal mais qu'il faut expliciter

Ce que j'ai écrit précédemment est faux ?

[fatal_error]

oui c'est faux
f(x) * h(x) = F(v).H(v).
c'est TF(f*h)=TF(f)*TF(h)=F(v)*H(v)

voir Convolution theorem http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform