Exercice de spé maths en arithmétique

[mistano]

Exercice 1
Déterminer les entiers naturels n tels que 5n+7 divise 2n + 16

Exercice 2
x et y désignent des entiers naturels avec x > y.
a) Démontrer que si x²y – xy² = 6 alors (xy) et (x-y) divisent 6.
b) Déterminer tous les entiers naturels x et y tells que : x²y – xy² = 6

Exercice 3
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n ≥ 1, le nombre
2^(2n) + 6n -1 est divisible par 9.

J'ai réussi à trouver le 3 pour l'exercice 1, je pense qu'il est bon.

Pour l'exercice deux j'ai réussi à voir qu'il fallait arriver à une expression de la forme a*b ou a et b forme un couple de multiple de 6.

Pour l'exercice trois, j'ai à peine réussi l'initialisation.



Pouvez-vous m'aider pour le 2 et le 3 ?

[infernaleur]

ta pas fais une erreur dans l'énoncé de l'exercie 3 ? (pour n=2 on a 55 qui n'est pas divisible par 9 )

[mistano]

Oui, désolé, j'ai rectifié l'énoncé.

[infernaleur]

Donc pour l'hérédité tu dois montrer que 9 divise
"Petite" indication
Dans la première parenthèse fait apparaitre l'hypothèse de récurence et dans la deuxième choisis les bons termes pour qu'il y ait bien égalité

[mistano]

2^{2}*(2^{n}+1.5)+5 non ? (Je n'arrive pas à utiliser l'outil)

[infernaleur]

2^{2}*(2^{n}+1.5)+5 non ? (Je n'arrive pas à utiliser l'outil)

bha déja fait apparaître l'hypothèse de récurence dans la première parenthèse :

[infernaleur]

Tu as essayé ou tu comprend pas mon indication ?
Pour l'exo 2 d’ailleurs j'avais pas vu j'ai cru tu l'avais réussi
Il te suffit de reconnaitre une factorisation et comme par hasard la factorisation va faire intervenir x-y et xy ...

[mistano]

Bonjour,
Le problème est que les récurrences, je les ai à peine vues avec mon professeur de maths normales, que mon professeur de spé me demande les réutiliser dans un problème. C'est donc un chapitre que je n'ai pas encore assez bien assimilé. Donc vos explications sont parfois un petit peu compliquées à mettre en œuvre pour moi. Et pour le deuxième, je vais essayer avec vos indication.

[infernaleur]

Ok daccord :
Une récurence se décompose ainsi:
-Initialisation : on cherche un rang où ta propriété est vrai (en général 0 ou 1)
-Hérédité on suppose la propriété vrai au rang n et on la montre au rang n+1
Donc toi tu suppose que 2^(2n) + 6n -1 est divisible par 9 et tu dois montrer que 2^(2(n+1)) + 6(n+1) -1

Comprends-tu déja cela ?

[mistano]

Oui, maintenant j'ai compris.

[mistano]

pour le 2) on a xxy-xyy = (xy) (x-y)

[infernaleur]

pour le 2) on a xxy-xyy = (xy) (x-y)

Exactement

[mistano]

Pour la suite du 3 par contre, la je sèche (5 feuilles y sont passées)

[infernaleur]

pour l’autre question on doit avoir

essaye de voir qu'est-ce qu'il faut mettre dans la parenthèse.

[infernaleur]

Pour la suite du 3 par contre, la je sèche (5 feuilles y sont passées)

Ok, par exemple on doit faire apparaître le ce qui est bon quand on développe donc rien à ajouter.
Ensuite on dois faire apparaitre 6n mais nous on aura si on développe donc que faut-il retrancher pour qu'on ait 6n ?
Ensuite pour avoir 5 nous en développant on aura donc que faut-il ajouter pour avoir 5 ?

Voilà j'espère que tu comprend ou je veux en venir

[mistano]

j'ai trouvé +9 mais pour le 6n je cherche encore...

[mistano]

-18 n non ?

[infernaleur]

Oui le +9 est bon car on aura 2²*(-1)=-4 donc pour avoir 5 on ajoute 9.
C'est la même chose pour le 2²*6n on doit avoir 6n donc on retranche quoi

[infernaleur]

-18 n non ?

Exellent !

[infernaleur]

et donc écrit moi la relation complète qu'on à ?