Il était une fois, une équation...

[Lostounet]

Bonsoir,

J'ai eu le malheur de regarder le pdf de préparation au concours général de Zweig (ici ), et j'ai vu une équation.. spéciale et la tentation de la résoudre (ou du moins d'essayer de la résoudre..) a été bien plus forte que moi !

N'ayant pas réussi à trouver le corrigé de l'exo en question, et ne voulant pas déranger Zweig (le pauvre, il m'aide déjà énormément :triste: ) ... je crée ce topic.




Je n'ai peut-être (sans doute) pas les connaissances requises pour ce genre d'équations, mais la méthode de résolution m'intéresse énormément..!

Merci d'avance!

[Euler07]

Ba voilà il y a pas le -1

[Euler07]

J'ai rien dit

[Lostounet]

C'pas grave :ptdr:

[Euler07]

J'ai pas envie d'écrire mais comme il y a le 1 dans le membre de droite il faut faire apparaître une identité comme a²-b² avec bien sur b=1 ou avec les cubes

[Nightmare]

C'est pas [url="http://www.wolframalpha.com/input/?i=8x(2x^2-1)(8x^4-8x^2%2B1)-1"]super joli[/url]

[Lostounet]

Je précise qu'il s'agit de résoudre l'équation sur R.
Donc d'après WA, la seule solution réelle est 1/2..?

[Nightmare]

Oui... donc réponse possible : " 1/2 est solution évidente..." :lol3:

Edit : Bon il y a quand même une chose un peu intéressante, c'est de prouver que c'est la seule solution réelle

[Zweig]

J'adore cette équation ! Surtout ne pas développer ! Et tu as les connaissances pour la résoudre.

Je te donne une remarque, essaie de t'en satisfaire ;-).

Remarque que si x est solution, alors |x|<1 ... substitution ?

[Zweig]

Pour ceux qui ont une certaine culture en Algèbre, la substitution est encore plus claire.

[Lostounet]

Remarque que si x est solution, alors |x|<1 ... substitution ?

Excuse-moi, mais je ne comprends pas tout à fait la remarque :triste:
C'est valable pour tout x solution de l'équation..? Pourquoi? Je dois vérifier ça?

[Zweig]

Désolé je n'ai pas été assez clair.

Remarque que si x est solution, nécessairement |x|<1. L'idée est de substituer x par "quelque chose", de faire un changement de vaiable vérifiant cette inégalité. Si je te dis "trigonométrie", ça te parle ?

[Lostounet]

Je n'ai malheureusement que les bases les plus basiques en trigonométrie.. :(

[Zweig]

J'ai un peu de mal à te faire sentir l'idée ... Bon je te la donne, après ut te débrouilles pour de vrai L'idée est de poser . Ce changement de variable est licite car on a remarqué que si x était solution, alors , et comme cos est une bijection de

[benekire2]

Lostounet ; tu te retrouve donc avec , pour un certain a €]-pi,pi[ 8cos(a)cos(2a)cos(4a)=1

[Zweig]

Oui, mais c'est pas fini, il reste une petite astuce pour rendre cette équation encore plus simple.

Au fait, il y a 7 solutions réelles.

[Zweig]

Ca avance Lostounet ? Essaie déjà de démontrer la forme de l'équation obtenue par Benekire (sans la développer, bien sûr !)

[Lostounet]

Bonsoir Zweig (et Bene),

Je n'ai toujours pas vu le cercle trigonométrique en détail

Donc voilà, je risque de ne pas piger. Je peux commencer le chapitre dès la semaine prochaine..

Je vais quand même essayer.
Si l'on part du fait que si alors est compris entre - 1 et 1? C'est bien ça?

Déjà, comment justifier le fait que si x est solution, alors |x| < 1 ? J'aurais dit en étudiant le signe des facteurs, mais on a le 1..?

C'est très confus.

Merci de m'aider..!

[Zweig]

Si l'on part du fait que si x \in [0; \pi] alors cos x est compris entre - 1 et 1? C'est bien ça?

Oui, et on peut affirmer aussi que dans ce cas, la fonction y est bijective, i.e, pour tout compris entre -1 et 1, il existe un (unique) réel vérifiant : . C'est cette propriété qu'on utilise ici. Comme on montre que si est solution, alors -, alors on sait que pour tout x solution, existe vérifiant . Donc il est licite de faire ce changement de variable dans l'équation.

Bah tu supposes , et tu montres que la membre de gauche est supérieur à 1.

[Zweig]

en utilisant le fait que