L'espace de Hilbert est-il forcement réflexif ?

[WOLEJSZO]

Certains définissent l'ESPACE DE HILBERT par un produit scalaire simplifié et une norme simplifiée, en prétendant que l'espace de Hilbert est RÉFLEXIF.
Selon moi, il n'est pas forcement RÉFLEXIF.
Qu'en est-il d'après vous chers amis ?
Jacek

[Ben314]

Salut,
Si les définitions que tu prend sont celles généralement utilisées, à savoir :

- Un espace de Hilbert est un espace vectoriel normé complet dont la norme est issue d'un produit scalaire ou hermitien (et, même à isomorphisme près, il y a plusieurs espaces de Hilbert différents donc ton "L apostrophe" devant "espace de Hilbert" est faux)

- Un espace vectoriel normé E est dit réflexif lorsque l'injection canonique de E dans son bidual (topologique) E'' est un isomorphisme (le Th. de Hann-Banach te dit que c'est forcément une isométrie, mais elle n'est pas forcément surjective)

Alors il n'y a pas le moindre doute possible, tout espace de Hilbert est réflexif et on a même bien mieux vu que l'application x -> <x|.> de E dans son dual (topologique) E' est déjà un isomorphisme.

[WOLEJSZO]

Cher Ben
Merci de ta réponse : elle m’a permis d’approfondir le sujet.
Dans la littérature j’ai constaté que (9 fois sur 10) on construit le DUAL de Hilbert d’une manière simplifiée, résumée comme suit :
On considère l’espace X des fonctionnelles appelées bras et notées |φ> selon Dirac.
Ensuite on construit le DUAL noté X’ composé des fonctionnelles <α| de façon à ce que la forme <α|φ> soit un produit scalaire, et de façon à ce que la forme <α| α> définit la norme.
Dans ce cas l’espace de Hilbert est RÉFLEXIF.

Ceci dit, selon moi, le DUAL de Hilbert peut être construit d’une manière à ce qu’il soit composé des fonctionnelles <Mα| où M est un opérateur approprié.
Dans ce cas l’espace n‘est forcément pas RÉFLEXIF.

À mon avis, rien interdit à ce que l’espace ainsi construit soit de Hilbert, puisque l’espace de Hilbert est défini seulement par : vectoriel, complet, normé, avec un produit scalaire.
Qu’en penses-tu ?
Merci de poursuivre la discussion.
Jacek

[Ben314]

Ben... j'en pense pas grand chose... a part qu'évidement, si tu utilise des termes mathématiques en leur donnant une définition différente de celle qu'ils ont d'habitude, effectivement tu n'obtient pas les même résultats.

Donc par exemple, si tu prend une définition du "dual d'un espace vectoriel" autre que celle communément admise, tu n'obtient pas les même résultats qu'avec la définition classique. Mais bon, on peut pas dire que ce soit particulièrement surprenant et je suis pas persuadé que ce soit super futé de prendre un terme déjà usité pour définir un nouvel concept.

Normalement, ce qu'on appelle "le dual" E' (ou E*) d'un espace vectoriel E sur un corps K, c'est l'ensemble des formes linéaires sur K (i.e. les applications linéaires de E dans K).
Dans le cas où E=R ou C et que l'espace vectoriel est muni d'une topologie (par exemple un espace vectoriel normé) le "dual topologique", c'est l'ensemble des formes linéaires continues.
Si E est en fait un espace de Hilbert, on peut démontrer que les éléments de E' sont très exactement les applications de la forme x -> <x|a> avec a dans E fixé. Mais ce n'est pas la définition du "dual de E", mais un théorème.

Et quand tu écrit "... le dual peut être construit...", visiblement, tu ne parle pas du dual au sens (usuel) ci dessus, et je ne comprend pas bien ce que c'est que tu cherche à construire : c'est quoi pour toi la définition du dual ?

[WOLEJSZO]

Salut Ben
Merci de ta réponse : on a progressé.
Ce que j’espère être un dual, ceci parait conforme à la définiton que tu as citée. Je constrouis ce « dual » comme l'ensemble des formes linéaires sur K (i.e. les applications linéaires de E dans K) définies comme les applications de la forme x -> <Mx|a> avec a dans E fixé, où M est un opérateur approprié. Mes 3 questions sont les suivantes.
1/ Est bien un dual ?
2/ Si oui, un espace comportant ce dual est-il de Hilbert (étant par ailleurs vectoriel, complet, normé, avec un produit scalaire) ?
3/ Est-il réflexif ? (généralement je pense que non).

En fait, j’ai ainsi défini un espace normé, et je voudrais être certain qu’il soit de Hilbert.
Je suis très intéressé par une réponse de ta part.
Jacek