Equation fonctionnelle : g(f(x) + x) = f(x), avec f connue

[stilgar_karas]

Bonjour,
comme l'indique mon titre : Je cherche à résoudre l'équation fonctionnelle suivante : g(f(x) + x) = f(x).

Le problème à la base de cette équation est de trouver la fonction g translatée de x par rapport à f, en tout x.
Pour mon cas particulier, ma fonction f est donnée comme étant un pic exponentiel de hauteur Fm, en Xm, et de largeur à mi-hauteur Lmh. (soit Ym exp(- Ln(2)/Lmh * |X - Xm|).

Il me semble que comme f(x) + x n'est pas inversible, c'est difficile de résoudre analytiquement cette équation.
Si qq y arrive, il aura gagné toute mon estime, en attendant, j'ai eu recours à un petit algorithme itératif pour trouver la solution au cas par cas.

Ce que j'aimerai aussi et surtout comprendre, c'est pourquoi, lorsque la dérivée de f est inférieure à -1, g cesse d'être une fonction (en effet, elle rebrousse chemin passé Xm + f(Xm)).
Tout ça se voit bien quand on prend sa règle et son crayon-gris... Si f'(x)<=1, f(x)+x cesse d'être injectif. et du coup g cesse d'être une fonction...

Pourtant, il me semble que, pour faire g°h, h ne doit pas nécessairement être injectif si?

Bon voila, je tourne un peu en rond, et j'aimerai bien disposer d'une explication qui tienne la route à ce phénomène.

Merci à ceux qui voudront bien prendre la peine de réfléchir à tout ça!