Equation différentielle

[Rita94]

Bonjour,

j'ai une question à propos des équations différentielles non linéaire de la forme: X"(t)=-cste(X'(t))²+C
avec les conditions intiales 0)=0 et X'(0)=w,
sachant que X est une angle qui varie entre [0, 2 pi], comment on peut déterminer la solution générale de cette équation?

cordialement.

[Lostounet]

Bonjour,

j'ai une question à propos des équations différentielles non linéaire de la forme: X"(t)=-cste(X'(t))²+C
avec les conditions intiales 0)=0 et X'(0)=w,
sachant que X est une angle qui varie entre [0, 2 pi], comment on peut déterminer la solution générale de cette équation?

cordialement.

Bonsoir, Je vais prendre C=1 et cste = 4 (au hasard). À toi d'adapter les constantes ensuite.

En posant y=x'(t) on a y'= 4*y^2 + 1

Ceci est une équation de Riccati particulière (on n'a pas besoin de passer par une équation de Bernoulli sous-jacente par un changement de variable). En divisant les deux membres par 4y^2+1 qui ne s'annule pas (il faudra soigner la rédaction avec Cauchy Lipschitz version locale /fonction localement lipschitz blabla...)

y'/(4y^2+1)=1

En intégrant les deux membres on trouve à droite x + cste
À gauche on remarque la dérivée de arctan(2y(x))/2 car arctan(2y(x))/2 ' = 2y'×1/2 × (1+4y^2)

Donc en fait arctan(2y(x))/2=x+Cste

Il te suffit d'extraire y(x)= tan(2x + 2Cste)/2

Mais ce n'est pas fini! car y=x'

En fait je viens de me rendre compte que j'ai nommé à la fois x une fonction et la variable (c'est con).

Il faut trouver x(t) tel que
x'(t)=tan(2t+C)/2

Je t'aide: tan = sin/cos de la forme u'/u avec une constante multiplicative. Cela permet de conclure.
Mais vraiment ce n'est pas comme cela qu'il faut rédiger hein :p

[Rita94]

Bonjour,

je vous remercie. dans votre réponse le C vous l'avez pris comme constante, en fait, ce que j'essaie de faire c'est de déterminer la variation de C en fonction de t). je m'excuse de ne pas préciser ça avant.

qu'est ce que vous pensez dans ce cas? avec le C qui varie.

cdt.

[Lostounet]

Bonjour,

je vous remercie. dans votre réponse le C vous l'avez pris comme constante, en fait, ce que j'essaie de faire c'est de déterminer la variation de C en fonction de t). je m'excuse de ne pas préciser ça avant.

qu'est ce que vous pensez dans ce cas? avec le C qui varie.

cdt.

Je ne comprends pas.

Pour toi C est une fonction de t ou pas? constante ou pas? Si oui il fallait au moins le dire.

Ensuite il me semble que l'équation obtenue est aussi de Riccati. Cherches-tu à la résoudre ? Ou cherches-tu un résultat de variation des solutions par rapport aux paramètres ?..

Quelles hypothèses de régularité sur C/domaine ?? Il faut tout donner si tu souhaites une réponse..

[Rita94]

Bonjour,
je vous remercie et je m'excuse une deuxième fois, le problème c'est quoi j'ai pas asseye d'information dans mon problème. j'essaie d'avoir la variation de C en fonction de X (t) (angle de rotation), et je connais pas t) ni C(t). donc j'ai pensé qu'il me fallait la résoudre (si c'est possible) et avoir le C(t) en fonction de t), j'ai pensé à la méthode de différence finis et j'ai pas réussi à le faire.
qu'est ce que vous pensez?
cordialement.