Equation différentielle NL d'ordre deux

[Jokokoe]

Bonjour à tous. Etant expérimentaliste dans un laboratoire de physique et suite au confinement, je passe le plus clair de mon temps à simuler et/ou travailler les théories que j'utilise couramment. Je n'ai, à ma grande surprise, trouvé aucun ouvrage ou article traitant du problème que je cherche à résoudre et mes connaissances mathématiques, en particulier les équa. différentielles, étant ce qu'elles sont, je fais un premier post ici en quête d'aide !

Je me permet de développer un peu la théorie pour clarifier les choses, ça me permet de faire le point et peut être cela vous intéressa !

En optique non linéaire, et plus particulièrement dans les cristaux, un certain nombre d'effets nons linéaires peuvent se produire en fonction de la lumière qu'on injecte dans notre cristal. Un de ces effets s'appelle "Difference Frequency Generation", ou plus simplement "DFG". Le principe est assez simple, en injectant un faisceau laser haute fréquence et un deuxième plus basse fréquence dans un cristal, on peut générer un troisième faisceau dont la fréquence sera la différence entre le premier et le deuxième. Si je nomme les champs électriques complexes de ces faisceaux respectivement , et , j'aurai alors la relation fréquentielle . Le jeu d'équations différentielles régissant ce phénomène s'écrit ici :





"i" désigne le nombre complexe, "g" est une constante, et les étoiles sur les champs désignent les complexes conjugués. En temps normal (ce que nous faisons toujours en pratique d'ailleurs), on considère le champ électrique très grand devant les deux autres, nous permettant de le considérer constant, donc de dire que sa dérivée est nulle (on se place dans l'approximation ou le faisceau 1 n'est pas déplété). Le terme dans l'équation (2) et (3) sera donc absorbé dans la constante. On se retrouve avec deux équations non linéaires standard. En prenant les dérivées secondes de ces équations et en les réinjectant, on obtient des solutions analytiques de la forme :



Mon problème est alors le suivant, je cherche à résoudre mes équations lorsque qu'on considère que le faisceau 1 est déplété, que sa dérivée n'est plus nulle. En utilisant certaines relations supplémentaires, je peux transformer ces équations pour les rendre indépendantes les unes des autres, et je me retrouve finalement avec des équations différentielles qui prennent la forme :



"a" et "b" sont des constantes. J'aimerai savoir avant tout si ce type d'équa. diff. est résoluble analytiquement. Si oui, pourriez vous m'indiquer une marche à suivre, un article traitant ce genre d'équation, un début de piste ?

Je vous remercie d'avance et espère avoir été clair, bon confinement à tous !

[GaBuZoMeu]

As-tu essayé un logiciel de calcul formel ?

J'ai mis ton equadiff dans Maple :

Code: Tout sélectionner

ode := diff(y(x),x,x) = a*y(x)^3 + b*y(x):
dsolve(ode);


et il m'a répondu :

Code: Tout sélectionner

y(x) = _C2*sqrt(-2*b/(-a-2*b+a*_C2^2))*JacobiSN(((1/2)*sqrt(-2*a-4*b)*x+_C1)*sqrt(-2*b/(-a-2*b+a*_C2^2)), _C2*sqrt(-(a+2*b)*a)/(a+2*b))

où JacobiSN est une des fonctions elliptiques de Jacobi.
Dans cette page wikipedia, tu peux retrouver ton équa.diff. dans la section "Jacobi elliptic functions as solutions of nonlinear ordinary differential equations"

Je ne sais pas si ça t'avance à grand chose.

[Jokokoe]

Bonjour, merci pour ta réponse, je n'avais pas pensé à utiliser Maple ou wolfram. J'essaie de manipuler ces résultats pour trouver mes coefficients C1 et C2 mais ça relève de l'impossible !

[GaBuZoMeu]

Ben _C1 et _C2 dépendent des conditions initiales, bien sûr.

[Jokokoe]

Oui, mais leur détermination est complexe en raison des formules obtenues. Le coefficient C2 par exemple est situé un peu partout dans l'équation, pas facile de déterminer sa valeur !

[GaBuZoMeu]

Sans doute. Tu cherches sur un exemple numérique où tu veux une formule générale ?

[Jokokoe]

Il me faudrait une formule générale !

[GaBuZoMeu]

Il faudrait plus d'expertise dans les fonctions elliptiques de Jacobi. Ce n'est pas mon rayon, désolé.
Mais tu as avec la page wikipedia que j'ai mise en lien tout un tas de références.

[LB2]

Bonsoir,

avant d'avoir une formule générale, tu peux avoir des valeurs en fonction des conditions initiales, et une fois que tu as plusieurs points de ta courbe (ou surface), tu peux conjecturer une formule éventuelle.

[Skullkid]

Bonjour,

Jokokoe, j'ai peut-être fait une erreur dans mes calculs mais je n'obtiens pas les mêmes équations que toi. En passant aux intensités et en utilisant les relations de Manley-Rowe j'arrive plutôt à des trucs du genre , où le deuxième terme est bien de degré 3 mais de la forme au lieu de ton .

En revanche pour les intensités je tombe sur des équations du type . Les solutions passent aussi par les fonctions elliptiques mais les constantes se déterminent assez facilement, par exemple pour , qui est je suppose le cas qui t'intéresse, ça me donne avec K l'intégrale elliptique complète de première espèce.

Le tout à vérifier...