Ensembles d'entier

[mylko]

Bonjour,
Je suis face à un problème et je souhaiterais savoir comment le résoudre. J'ai regarder un peu partout sur internet sans trouver un théorème ou une méthode dédié à ce genre de maths. Voici l'énoncé :
Soit a et b des nombres entiers pairs strictement positifs, et c un nombre entier non nul.
Prouver que pour n'importe quel valeur c fixé arbitrairement, l'ensemble { { || c.a+b||} ⋃ { || c.a-b||} } = ensemble nombres entiers pairs

Merci d'avance pour toute aide

[LB2]

Bonjour mylko,

attention, si tu considères l'ensemble de ces valeurs, c n'est pas fixé. c varie à l'intérieur de l'ensemble (quantificateur pour tout = l )
en termes de congruences, ce sont les entiers congrus à b ou -b modulo a.

que penses tu de ton "théorème" si a=4 et b=4, par exemple ?

[FLBP]

Salut,
Si les || ... || représentent la valeur absolue, les nombres entiers pairs négatifs ne sont pas représentés.

[mylko]

Bonjour,
FLBP : exact, l'ensemble { { || c.a+b||} ⋃ { || c.a-b||} } = ensemble nombres entiers pairs positifs.
Savez vous si il existe un théorème ou une méthode pour résoudre ce genre de problème?

[FLBP]

Salut, tu ne trouveras aucun théorème pour démontrer ta conjecture; car elle est fausse, à moins de se restreindre au cas ou .

Dans ce cas tu peux démontrer par récurrence que tout les entiers positifs pairs sont représentés:


quand :

et on doit démontrer que:

peut prendre n'importe quelle valeur entière positive;
mais on dit que , alors:

On voit bien que :


Mais dans tout les autres cas, ta conjecture est fausse ...

[mylko]

Bonjour,
Je me rend compte qu'il y a confusion sur la compréhension du problème, le voici mieux formulé :
Soit a et b des nombres entiers pairs strictement positifs, et c un nombre entier non nul.
Il faut prouver que pour n'importe quel valeur de c fixé arbitrairement, et pour l'ensemble des valeurs de a et de b possible, on a l'ensemble { { || c.a+b||} ⋃ { || c.a-b||} } égale à l'ensemble des nombres entiers pairs positifs.
Savez vous si il existe un théorème ou une méthode pour résoudre ce genre de problème sur les ensembles?

[mylko]

Problème résolu... merci à tous pour votre temps et bonne continuation.
Cordialement