Ensemble des sous ensemble de R

[izm342]

bonjour
je sais depuis peu que l'ensemble des sous ensemble de R, P(R) à un cardinal strictement supérieur à celui de R.
j'aimerai savoir s'il est possible de trouver un ensemble dont le cardinal est strictement compris celui de R et de P(R)

[mathelot]

C'est un axiome à ajouter ou non à ZFC

[izm342]

bonjour
je ne connais pas tous les axiomes de ZFC est ce qu'ils traitent ce cas ?

[mathelot]

il faut chercher avec le mot-clé "hypothèse du continu généralisée"

[izm342]

merci
sur google je trouve pas "hypothèse du continu généralisée"
je trouve "hypothèse du continu", il n'a pas d'ensemble infini entre N et R

[izm342]

je viens de trouver, difficilement
il n'existe pas de cardinal m entre n et 2^n
merci

[izm342]

bonjour
Je m’intéresse maintenant à l’ensemble des sous-ensembles de N

soit PP cet ensemble avec 2 conditions
Condition 1 : chaque sous ensemble comporte au moins un nombre pair et un nombre impaire
Condition 2 : pour chaque sous ensemble, l’écart entre le nombre des pairs et le nombre des impaires est de 1

Le cardinal de PP est-ce c’est N ou c’est R ? car il n’y a pas de cardinal entre N et R

[GaBuZoMeu]

car il n’y a pas de cardinal entre N et R

Ça, c'est l'hypothèse du continu. Elle est indépendante des axiomes de ZFC.

Mais pour ton ensemble de parties, on voit facilement qu'il a la puissance du continu (il est équipotent à ou à ). Il est contenu dans et on fabrique facilement une injection de dedans (je te laisse en imaginer une).

[izm342]

j'imagine une injection d'une façon indirecte;
N est une injection dans PP et N est une injection dans P(N) alors PP une injection de P(N)

si je veux construire un ensemble des parties de N qui n'est pas équivalent avec P(N) je doit commencer par éviter l'injection ?

[Ben314]

Salut,

Condition 2 : pour chaque sous ensemble, l’écart entre le nombre des pairs et le nombre des impaires est de 1

Ça, je comprend pas ce que ça peut vouloir dire. Si c'est du cardinal (et pas du nombre) des pairs et des impairs dont tu parle, ça n'a pas de sens de parler de la différence (=l'écart) entre les deux vu qu'on ne peut pas définir de soustraction entre cardinaux (si A et B sont deux cardinaux donnés avec A<B, il y a en général des tas de cardinaux X tels que A+X=B)

Bref, un cardinal (infini), c'est pas du tout un "nombre" et ça se comporte pas du tout de la même façon que "les nombres" (qui correspondent aux cardinaux finis).

[izm342]

bonjour
Je parle de nombre et non de cardinaux
Je construite des ensembles des parties de N et je mets une condition qui limite la différence entre le nombre des entiers et pair et celui des entiers impairs à 1.
Je pourrai mettre 0 au lieu de 1 et dans ce cas, pour les ensembles construits il y a le même nombre entre les pairs et les impairs

De tout façon GaBuZoMeu a tranché, c’est ensemble ayant le même cardinal que P(N)

[GaBuZoMeu]

L'objection de Ben est tout à fait pertinente.

Et ta phrase :

N est une injection dans PP et N est une injection dans P(N) alors PP une injection de P(N)

ne veut rien dire du tout.

Bon, reprenons calmement : quelle est exactement la définition de PP ?

[izm342]

ensemble PP = ensemble des ensemble des parties de N qui vérifient les 2 conditions
Condition 1 : chaque sous ensemble il comporte au moins un nombre pair et un nombre impaire
Condition 2 : pour chaque sous ensemble, l’écart entre le nombre des pairs et le nombre des impaires est de 1

[GaBuZoMeu]

Comme le disait Ben, la condition 2 n'a pas de sens s'il y a une infinité de nombres pairs dans la partie considérée.
Tu ne considères que des parties finies de ?

[izm342]

et comment faire pour les infinis, pour avoir un écart de 1 entre les pairs et les impaire ?

[izm342]

je change la condition 2 pour dire il y a un écart 0, (autant de pairs que d'impairs)

mais ça ne change rien vu que le cardinal de PP est celui de P(N),

[GaBuZoMeu]

Ça n'a pas de sens !!!

Ce qui a du sens, par exemple, c'est, si P est un ensemble de nombres pairs et I un ensemble de nombres impairs, de demander que, pour tout entier n, la différence entre le cardinal de l'ensemble des éléments de P inférieurs ou égaux à n et le cardinal de l'ensemble des éléments de I inférieurs ou égaux à n soit inférieure ou égale à 1 en valeur absolue. Ou alors, que pour tout entier n, il existe un entier p supérieur ou égal à n tel que la différence entre le cardinal de l'ensemble des éléments de P inférieurs ou égaux à p et le cardinal de l'ensemble des éléments de I inférieurs ou égaux à p soit inférieure ou égale à 1 en valeur absolue. Ou encore ....

Je viens de voir ton nouveau message

je change la condition 2 pour dire il y a un écart 0, (autant de pairs que d'impairs)

Ça n'a pas plus de sens !!!!