Ensemble des nombres décimaux

par **Shaolan** » 12 Aoû 2008, 17:10

Bonjour

Au collège, on nous apprend les ensembles de nombres de

à

, en passant par

, les nombres décimaux.

Pourtant, par la suite, on abandonne cette ensemble. Même dans la théorie des groupes, des anneaux, des corps... on ne s'intéresse jamais à

en prépa.

Alors quel est le problème avec cette ensemble ? est-il légitime ? y a-t-il des difficultés avec son étude ? etc...

par **Imod** » 12 Aoû 2008, 18:04

a un gros défaut : ce n'est pas un corps ! En plus il est intiment lié à notre système de numération : un informatitien utilisera plutôt les nombres binaires . Je dirais que dès le collège et même dès le primaire on "dépasse" largement

, dès que l'on divise car l'existence du quotient est liée à la structure de groupe multiplicatif donc de corps .

Imod

par **SimonB** » 12 Aoû 2008, 18:07

Shaolan a écrit:Alors quel est le problème avec cette ensemble ? est-il légitime ? y a-t-il des difficultés avec son étude ? etc...

Il n'y a pas de problème avec cet ensemble, il est tout à fait légitime :zen:

C'est un anneau (intègre) tout ce qu'il y a de plus classique. C'est justement ça qui le rend assez faible par rapport à son corps des fractions,

.

Ou, dit autrement : pourquoi étudier les nombres décimaux ? Pourquoi pas étudier les nombres 8-maux (qui peuvent s'écrire

, avec a et p des entiers relatifs), les nombres 42-maux, etc. ? La seule raison, c'est qu'on compte (généralement) en base 10, mais mathématiquement parlant, c'est pas passionnant :we:

[EDIT]Grillé par Imod, qui en plus est plus complet que moi (ce que n'est pas

) et plus concis.[/EDIT]

par **Shaolan** » 12 Aoû 2008, 18:39

Donc grosso modo,

ne sert à rien, car il ne peut pas être utilisé en arithmétique comme ses collègues

et

et il n'a pas la structure suffisante pour être intéressant comme

,

et

...

Merci à vous deux ^^

par **leon1789** » 12 Aoû 2008, 22:57

SimonB a écrit:C'est un anneau (intègre) tout ce qu'il y a de plus classique. C'est justement ça qui le rend assez faible par rapport à son corps des fractions, .

Ok, D n'est pas vraiment ce qu'on appelle un corps. Mais du coup, on pourrait s'intéresser à son arithmétique.
Questions gentilles : quels sont les inversibles de D ? Montrer que D est un anneau principal euclidien (comme Z).
Certes, ça ne va pas loin.

par **Flodelarab** » 12 Aoû 2008, 23:15

Les enfants, ça aime les histoires.
Or la mythologie regorge de bon scénario.

Prouvons mathématiquement que le Héros Achille était invincible ...
Car s'il était invincible, ce n'était pas seulement parce que sa mère l'avait baigné dans le Styx.

Achille était beau fort et tout et tout (oui, comme le fromage)
Un ennemi engagea un tueur qui était trop fort à l'arc!

Le problème est que le Chichille, c pas un cul-de-jatte quand il s'agit de courrir.

Le tueur s'est approché à 100m et a tiré ...
Chichille:

Il courrait le 100m en 10s le veinard!

... Oui mais!

Pendant la seconde où la flèche a fendu l'air pour transpercé Achille (distance de 100m), Achille avait parcourru 10m (10 X moins de seconde donc 10 X moins de distance)
Donc la flèche a encore 10m à parcourrir.

... Oui mais!

Pendant le 1/10 de seconde où la flèche a fendu l'air pour transpercé Achille (distance de 10m), Achille avait parcourru 1m (10 X moins de seconde donc 10 X moins de distance)
Donc la flèche a encore 1m à parcourrir.

... Oui mais!

Pendant le 100e de seconde où la flèche a fendu l'air pour transpercé Achille (distance de 1m), Achille avait parcourru 0,1m (10 X moins de seconde donc 10 X moins de distance)
Donc la flèche a encore 1m à parcourrir.

etc ...

CONCLUSION: LA FLECHE N'A JAMAIS PU ATTTEINDRE ACHILLE

(Trop fort Chichille !)

Dommage qu'il y ait ce fameux talon ...............................

PS: D sert à expliquer aux enfants les belles histoires.

par **Clembou** » 12 Aoû 2008, 23:28

Flodelarab a écrit:Les enfants, ça aime les histoires.
Or la mythologie regorge de bon scénario.

Prouvons mathématiquement que le Héros Achille était invincible ...
Car s'il était invincible, ce n'était pas seulement parce que sa mère l'avait baigné dans le Styx.

Achille était beau fort et tout et tout (oui, comme le fromage)
Un ennemi engagea un tueur qui était trop fort à l'arc!

Le problème est que le Chichille, c pas un cul-de-jatte quand il s'agit de courrir.

Le tueur s'est approché à 100m et a tiré ...
Chichille: Il courrait le 100m en 10s le veinard!

... Oui mais!

Pendant la seconde où la flèche a fendu l'air pour transpercé Achille (distance de 100m), Achille avait parcourru 10m (10 X moins de seconde donc 10 X moins de distance)
Donc la flèche a encore 10m à parcourrir.

... Oui mais!

Pendant le 1/10 de seconde où la flèche a fendu l'air pour transpercé Achille (distance de 10m), Achille avait parcourru 1m (10 X moins de seconde donc 10 X moins de distance)
Donc la flèche a encore 1m à parcourrir.

... Oui mais!

Pendant le 100e de seconde où la flèche a fendu l'air pour transpercé Achille (distance de 1m), Achille avait parcourru 0,1m (10 X moins de seconde donc 10 X moins de distance)
Donc la flèche a encore 1m à parcourrir.

etc ...

CONCLUSION: LA FLECHE N'A JAMAIS PU ATTTEINDRE ACHILLE

(Trop fort Chichille !)

Dommage qu'il y ait ce fameux talon ...............................

PS: D sert à expliquer aux enfants les belles histoires.

Super ton histoire et les smileys du début mais bon, ça n'avance pas trop le sujet :triste:

par **miikou** » 12 Aoû 2008, 23:53

mais si monsieur clement boulonne voyez par vous meme ce que flodelarab a voulu dire au dela de son conte

par **Clembou** » 13 Aoû 2008, 00:23

miikou a écrit:mais si monsieur clement boulonne voyez par vous meme ce que flodelarab a voulu dire au dela de son conte

Je connais parfaitement bien le paradoxe d'Achille qui peut être réadapté selon les besoins (courses d'escargots ou problème de trains...). Mais je tiens à (re)dire que ça n'a AUCUN rapport avec l'ensemble

(enfin, mathématiquement parlant)

par **miikou** » 13 Aoû 2008, 00:37

et bien si, je laisse a flodelarab le soin d'expliquer pourquoi il a posté ca ( ormis pour taquiner leon :ptdr: )

par **guigui51250** » 13 Aoû 2008, 12:03

Flodelarab a écrit:Les enfants, ça aime les histoires.
Or la mythologie regorge de bon scénario.

Prouvons mathématiquement que le Héros Achille était invincible ...
Car s'il était invincible, ce n'était pas seulement parce que sa mère l'avait baigné dans le Styx.

Achille était beau fort et tout et tout (oui, comme le fromage)
Un ennemi engagea un tueur qui était trop fort à l'arc!

Le problème est que le Chichille, c pas un cul-de-jatte quand il s'agit de courrir.

Le tueur s'est approché à 100m et a tiré ...
Chichille: Il courrait le 100m en 10s le veinard!

... Oui mais!

Pendant la seconde où la flèche a fendu l'air pour transpercé Achille (distance de 100m), Achille avait parcourru 10m (10 X moins de seconde donc 10 X moins de distance)
Donc la flèche a encore 10m à parcourrir.

... Oui mais!

Pendant le 1/10 de seconde où la flèche a fendu l'air pour transpercé Achille (distance de 10m), Achille avait parcourru 1m (10 X moins de seconde donc 10 X moins de distance)
Donc la flèche a encore 1m à parcourrir.

... Oui mais!

Pendant le 100e de seconde où la flèche a fendu l'air pour transpercé Achille (distance de 1m), Achille avait parcourru 0,1m (10 X moins de seconde donc 10 X moins de distance)
Donc la flèche a encore 1m à parcourrir.

etc ...

CONCLUSION: LA FLECHE N'A JAMAIS PU ATTTEINDRE ACHILLE

(Trop fort Chichille !)

Dommage qu'il y ait ce fameux talon ...............................

PS: D sert à expliquer aux enfants les belles histoires.

Ouè bof si c'est pour dire ça... belle histoire mais rien a voir avec le sujet premier (enfin si jamais il y avait un lien avec l'ensemble D, dis-le moi car je ne l'ai pas vu)

par **ThSQ** » 13 Aoû 2008, 13:01

Shaolan a écrit:est-il légitime

On travaille en base 10 donc il est utile pour faire des calculs.

Sinon ça n'est qu'un cas particulier de sous-anneau de la forme

(extension simple)

par **leon1789** » 13 Aoû 2008, 16:18

Je disais que D est un anneau principal (comme Z), ok.

Une première différence (d'ordre topologique, et non algébrique) entre Z et D est que D est dense dans R (évident), pas Z (qui lui est complet).

Mais je me pose une question (algébrique cette fois) : est-ce que D est un anneau euclidien ? Si oui, cela ne sera probablement pas évident (si ?), et si non, alors ce serait l'exemple le plus simple d'anneau principal non euclidien que l'on peut signaler : c'est une propriété remarquable.
Quelqu'un a une idée sur cela ?

par **leon1789** » 13 Aoû 2008, 16:22

D est un anneau euclidien.

par **leon1789** » 13 Aoû 2008, 16:38

...et comme tous les anneaux de la forme Z[1/n] avec

, il est dense dans R (contrairement à Z qui est complet).

par **SimonB** » 13 Aoû 2008, 17:49

leon1789 a écrit:...et comme tous les anneaux de la forme Z[1/n] avec , il est dense dans R (contrairement à Z qui est complet).

J'ai failli dire ça, mais je me suis dit que ce serait moche de gâcher tout un tas de réflexions algébriques par de l'analyse :lol2:

SimonB, qui rentre à Cachan, et qui va donc s'en farcir, de l'analyse...

par **leon1789** » 13 Aoû 2008, 18:04

SimonB a écrit:J'ai failli dire ça, mais je me suis dit que ce serait moche de gâcher tout un tas de réflexions algébriques par de l'analyse :lol2:

ouais j'ai hésité aussi ... mais je ne voulais pas laisser le dernier mot à ThSQ !! :we:

SimonB a écrit:SimonB, qui rentre à Cachan, et qui va donc s'en farcir, de l'analyse...

qui "rentre" ? ...tu intègres l'ENS ?

par **SimonB** » 13 Aoû 2008, 18:24

leon1789 a écrit:qui "rentre" ? ...tu intègres l'ENS ?

C'est bien ça. (Campus de Rennes, mais l'ENS quand même !)

par **leon1789** » 13 Aoû 2008, 18:31

eh bien ... BRAVO !!!

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