L'enseignement des maths par l'exemple

[Dominique Lefebvre]

Bonsoir,
Que pensez-vous de cet article du Monde:

[url="http://www.lemonde.fr/sciences-et-environnement/article/2008/04/25/les-exemples-seraient-des-mauvais-instruments-d-enseignement-des-mathematiques_1038312_3244.html#ens_id=628865"]http://www.lemonde.fr/sciences-et-environnement/article/2008/04/25/les-exemples-seraient-des-mauvais-instruments-d-enseignement-des-mathematiques_1038312_3244.html#ens_id=628865[/url]

[guigui51250]

Bonsoir,
Que pensez-vous de cet article du Monde:

[url="http://www.lemonde.fr/sciences-et-environnement/article/2008/04/25/les-exemples-seraient-des-mauvais-instruments-d-enseignement-des-mathematiques_1038312_3244.html#ens_id=628865"]http://www.lemonde.fr/sciences-et-environnement/article/2008/04/25/les-exemples-seraient-des-mauvais-instruments-d-enseignement-des-mathematiques_1038312_3244.html#ens_id=628865[/url]

interrésant, moi je pense que pour les étudiants il fait étudier les formules abstraites et pour les plus jeunes comme les primaire il est quand même mieux d'exliquer l'abstrait par quelques exemples pour ne pas trop faire du bourage de crane

[_-Gaara-_]

Personnellement, je trouve que c'est un peu tiré par les cheveux .. Moi j'ai appris les maths par l'exemple et j'en connais plein dans mon cas.. D'ailleurs la preuve, quand notre prof nous enseignait quelque chose de façon abstraite, la moitié de la classe ne comprenait pas, un quart croyais comprendre et l'autre quart comprenait.

Je trouve que ce genre d'enseignement ne doit pas être généralisé de la Cp à la terminale, mais doit être plutôt appliqué aux études supérieures.

D'ailleurs c'est inné en nous, on apprend par l'exemple (ne fais pas çà c'est dangereux car X s'est cassé un doigt en essayant (vive l'exemple bidon))

donc voilà je ne crois pas qu'un groupe de 80 étudiants est représentatif de l'ensemble du panel scolaire, en effet ils sont grands.


Toutefois voyons ce que donnera çà :

Les chercheurs de l'université de l'Ohio ont d'ores et déjà commencé des expériences avec des enfants du primaire.

...

[Alpha]

Personnellement, je trouve que c'est un peu tiré par les cheveux .. Moi j'ai appris les maths par l'exemple et j'en connais plein dans mon cas.. D'ailleurs la preuve, quand notre prof nous enseignait quelque chose de façon abstraite, la moitié de la classe ne comprenait pas, un quart croyais comprendre et l'autre quart comprenait.

Je trouve que ce genre d'enseignement ne doit pas être généralisé de la Cp à la terminale, mais doit être plutôt appliqué aux études supérieures.

D'ailleurs c'est inné en nous, on apprend par l'exemple (ne fais pas çà c'est dangereux car X s'est cassé un doigt en essayant (vive l'exemple bidon))

donc voilà je ne crois pas qu'un groupe de 80 étudiants est représentatif de l'ensemble du panel scolaire, en effet ils sont grands.

Je suis complètement d'accord avec toi : pour moi, pas besoin de faire des études poussées là-dessus pour savoir qu'on apprend d'abord par l'exemple, ou plutôt, qu'on comprend d'abord par l'exemple, par l'intuition, par l'expérience : c'est cela qui éveille notre esprit aux nouvelles notions, nous en fait comprendre l'utilité, etc... Pour apprendre quelque chose d'abstrait qu'on ne connaît pas encore, il est raisonnable de partir de choses, de notions qu'on connaît déjà, et déraisonnable de parachuter des notions qui n'ont aucun rapport avec ce que les élèves connaissent ou ce dont ils ont l'expérience!

[Skullkid]

Bonsoir, je suis d'accord avec mes prédécesseurs, et j'ajouterai que lorsqu'on nous enseigne une théorie, c'est en général pour qu'elle serve. Et elle est en général difficile à appliquer si on n'a jamais vu d'exemple. Je dirais même que plus la théorie est compliquée, plus on a besoin de la pratiquer avant de réellement la comprendre (enfin, je ne dis ça qu'en m'appuyant sur mon expérience personnelle, tout le monde ne fonctionne sans doute pas comme ça).

Malgré tout, je conçois qu'un exemple puisse détourner l'attention de l'élève vers des détails superficiels, et l'embrouiller. Le remède à cela est sans doute d'essayer de "faire sentir" l'idée de la théorie avant de montrer un exemple, plutôt que de se contenter de balancer sèchement un énoncé, vaguement illustré par un exemple. Et faire appel à des notions déjà connues dans ce but peut à mon avis être utile.

[SimonB]

J'avais déjà lu cet article qui m'avait quelque peu interloqué, et voilà ce que j'en ai pensé (dans l'ordre chronologique) :

-Hein ? Qu'est-ce qu'ils racontent ? Alors déjà que plein d'élèves moyens/médiocres que je connais vers bac+1 (voire plus pour certains ) ne comprennent pas que la définition abstraite d' "espace vectoriel" est construite pour généraliser (et théoriser) la géométrie...

-Ah, je vois. Ca rejoint une histoire que je racontais par ici d'un "TP de maths" (si !) dans un livre de 6ème, sur la multiplication : "Sur ta calculette, multiplie 3 par -2, puis 4 par -5, puis -3 par 8. Puis, multiplie -3 par -8, -4 par -7. Que peux-tu en déduire ?" Si si : on apprend le signe du produit par l'exemple. Evidemment. Ou encore de ces nombreux exemples de mesures des trois angles de triangles quelconques, puis de somme, pour conjecturer que "La somme des angles d'un triangle est comprise entre 179,2° et 182,3°." (Ca, c'était ma conjecture. Si si, j'ai vécu ça.), ou de vérification expérimentale du théorème de Pythagore...

Si c'est ça qu'on entend par "exemple", oui, l'enseignement "expérimental" des maths est une catastrophe pédagogique.

-Finalement, le problème de l'article est à mon sens qu'on n'y précise pas ce qu' "exemple" signifie. Un enseignement épuré d'exemples, sur des notions souvent abstraites (même avant le supérieur, d'ailleurs : la résolution d'équations du premier degré fait appel à des tas de bonbons, les fractions à des parts de gâteaux, les probabilités naissent de l'expérience concrète du jeu), est catastrophique. Inversement, il ne faut pas croire que toute la théorie (et les théorèmes) naissent de cas particuliers (et ce même si les cas particuliers "correspondent à l'expérience tangible" : jusqu'à l'arrivée de Weierstrass-et-ses-monstres, personne ne croyait que l'ensemble des points de non-dérivabilité d'une fonction continue pouvait être non dénombrable...).

Bref, je reproche à l'article de ne pas être précis.

[Alpha]

Je suis d'accord avec toi Simon, les "exemples" que tu cites n'ont pas leur place dans l'enseignement, on n'apprend pas que - par - égale + parce que la calculatrice le dit, on l'apprend parce qu'on comprend pourquoi, parce qu'on comprend la théorie. Il est effectivement stupide de faire expérimenter les maths de cette façon-là, avec ce genre d'exemples stupides, qui auraient plus tendance à faire penser aux élèves que "bon bah c'est comme ça puisque la calculatrice le dit" plutôt que de les amener à se poser la question "mais pourquoi est-ce ainsi?" et à en chercher la réponse.

Cordialement

[ffpower]

L exemple typique de livres ou ya pas d exemple,c est les Bourbaki.
L exemple typique de livres ou j ai rien compris c est les Bourbaki.

Je suis donc pas d accord moi aussi a priori,mais j avoue que l article n est vraiment pas assez précis.C est quand meme tres petit comme article pour Le Monde non?

[nuage]

Salut,
Il faudrait certainement lire l'étude.
Mais je suis assez surpris par les résultats numériques en pourcentages.
Si les 4 groupes comportent 20 élèves ils sont faux. Sinon il serait interessant de connaitre le nombre d'élève par groupe. Par exemple pour savoir dans quelle mesure on peut éliminer le hasard.
Ce genre d'étude n'est pas sans intérêt, mais sans connaitre le protocole d'expérience, qui est souvent farfelu, on ne peut rien en tirer.

[leon1789]

Bonjour

Dans l'article original, en anglais non traduit http://www.eurekalert.org/pub_releases/2008-04/osu-ced042108.php , on parle de using “real-world,” concrete examples, c'est à dire >. Et cela ne se traduit pas par le mot > qui est très général !!

La première conclusion, c'est que le traducteur ne comprends pas vraiment ce que le texte d'origine signifie. Seconde conclusion, c'est que Le Monde publie parfois un peu n'importe quoi, car il est evident que sans exemple, aucun apprentissage n'est possible.

L exemple typique de livres ou ya pas d exemple,c est les Bourbaki.

Il y a des exemples dans les Bourbaki, des contre-exemples, des exercices, etc. Mais bon, c'est loin d'être le genre pédagogique, c'est vrai. En fait, les livres de bourbaki sont des "manuels de référence" pour ceux qui ont déjà compris, exactement comme pour les calculettes : il y a le manuel de l'utilisateur (là, on apprend) et le manuel de référence (quand on cherche quelque chose qu'on a simplement oublié).

[busard_des_roseaux]

bjr,

je ferai une typologie des exemples et des différents "concrets"

- il y a les maths "ouvrières", des cabinets d'études et des usines, concrêtes, extremement difiiciles: par exemple, en mécanique des moteurs, il y a des tas de contraintes physiques et les plans conduisent à des exercices et des formules de trigonométrie compliqués, avec de nombreuses translations, ce qui nuit à l'intérêt pédagogique.
Autre exemple, le vrai concrêt des maths financières, c'est à dire par exemple, le pricing d'options, est difficile à comprendre, et il vaut mieux apprendre la théorie abstraite des probabilités, purement mathématiques,
sans référence aux marchés.

-il y a le faux concrêt , du style problème de trains ou de baignoire et robinets, qui sont rébarbatifs et n'aident pas non plus à la pédagogie, mais pour d'autres raisons. Personnelement, j'apprécie guère les livres de maths de Terminale ES. Il y a un enrobage pseudo-concrêt qui gêne la compréhension.
Toutefois, ça réussit chez certains élèves qui aiment se raccrocher
à des aspects de la vie quotidienne. Eexmple type: au lieu d'étudier la fonction exponentielle pour elle-même, la définition va être enrobée
de tout un tas d'applications numériques compliquées et touffues.

- il y a de vrais et bons exemples, qui aident réellement à la compréhension des choses: j'en ai deux ou trois favoris et classiques: les paramètrages
des 4 demi-cercles, en Seconde, pour expliquer la notion de fonction et de courbe de fonctions, la quadrature de la parabole avec un polynome de Bernoulli en Terminale, pour expliquer le calcul intégral,le produit pour expliquer ce que sont deux nombres inverses l'un de l'autre.

- je suis tout à fait d'accord avec SimonB, en fac, il faut de nombreux exemples, dès le début pour que les étudiants comprennent l'heuristique
d'un problème, mais qu'après, on aille rapidement vers l'abstrait.
Par exemple, on peut commencer par expliquer une différentielle
sur un exemple simple de dans ,en L3, et une fois l'exemple assimilé, passer rapidement aux différentielles abstraites dans des espaces de Banach, en se basant sur les analogies.


-Enfin, les exemples sont nécéssaires pour passer d'une théorie à l'autre.
Par exemple, l'intégrale de Riemann ne marche pas bien dans
on voit quelques exemples où ça ne fonctionne pas et on passe ensuite à l'intégrale de Lebesgue.

[quinto]

Bonsoir,
Que pensez-vous de cet article du Monde:

[url="http://www.lemonde.fr/sciences-et-environnement/article/2008/04/25/les-exemples-seraient-des-mauvais-instruments-d-enseignement-des-mathematiques_1038312_3244.html#ens_id=628865"]http://www.lemonde.fr/sciences-et-environnement/article/2008/04/25/les-exemples-seraient-des-mauvais-instruments-d-enseignement-des-mathematiques_1038312_3244.html#ens_id=628865[/url]

Je trouve que c'est d'une banalité affligeante et qu'il ne faut pas un doctorat en pédagogie pour le savoir.

L'exemple est un complément ou peut être une motivation mais rien de plus.

[Dominique Lefebvre]

Je trouve que c'est d'une banalité affligeante et qu'il ne faut pas un doctorat en pédagogie pour le savoir.

L'exemple est un complément ou peut être une motivation mais rien de plus.

Bonjour,
Tout à fait d'accord avec toi, encore qu'un exemple constitue rarement une motivation en mathématique, à mon avis. C'est plus vrai en physique.

D'ailleurs, en parlant de physique, j'ai depuis longtemps constaté, et je ne suis ni le premier ni le seul, qu'il existe une différence fondamentale entre l'enseignement des maths et de la physique. Dans la plupart des cas (dans l'enseignement supérieur et en fin de secondaire et pour les écoles que je connais): en math on part du général vers le particulier - l'exemple - alors qu'en physique on part presque toujours du particulier - une manip - pour aller au général - la loi qui gouverne le phénomène. Les quelques profs de physique qui essayent de partir d'une loi générale pour descendre vers les applications se plantent à tous les coups...

[ffpower]

J ai un ami qui avait un prof de physique a Fermat qui allait du general vers le particulier,et de ce qu il m en disait ca a l air beaucoup mieux.Peut etre que c est parce que je n ai pas l esprit physique mais j ai toujours eu l impression que l enseignement de physique(que j ai recu en tout cas) manque trop de rigueur, du fait qu on parte de l exemple pour en deduire la theorie plutot que l inverse,ce qui fait apparaitre plein de formules dont on ne sait pas d ou elles sortent,dont on pourrait croire qu elles existent jusque parce que "ca marche".J aurai bien aimer etre aller a Fermat snif..

[Dominique Lefebvre]

J ai un ami qui avait un prof de physique a Fermat qui allait du general vers le particulier,et de ce qu il m en disait ca a l air beaucoup mieux.Peut etre que c est parce que je n ai pas l esprit physique mais j ai toujours eu l impression que l enseignement de physique(que j ai recu en tout cas) manque trop de rigueur, du fait qu on parte de l exemple pour en deduire la theorie plutot que l inverse,ce qui fait apparaitre plein de formules dont on ne sait pas d ou elles sortent,dont on pourrait croire qu elles existent jusque parce que "ca marche".J aurai bien aimer etre aller a Fermat snif..

Il est très difficile d'aller du général vers le particulier en physique car ce n'est pas comme cela qu'ont été construites la plupart des lois de la physique, et même la quasi-totalité. Elles ont toutes (au diable les précautions oratoires) étaient obtenues à partir de résultats expérimentaux, que l'on a analysé et dont on a tiré un modèle, qui est devenu loi après re-vérification expérimentale (aucun contre-exemple ne me vient à l'esprit!). Loi qui d'ailleurs risque à tout moment de pendre son statut d'intouchabilité... On a jamais vu en math un théorème devenir obsolète, du moins pas à ma connaissance. Les maths accumulent les connaissances, qui une fois acquises, le sont pour "toujours". Ce n'est pas vrai en physique où les lois peuvent être remises en cause, d'abord à la marge puis dans leurs fondements.
L'enseignement de la physique suit depuis toujours la même dynamique. Imagine que je te parachute les principes et théorèmes de la mécanique lagrangienne ou hamiltonienne tout de go, sans préparation et base expérimentales: grosse panique dans la salle (expérience vécue...).
Quant au manque de rigueur de l'ensignement de la physique, c'est à mon sens une incompréhension de ce qu'est la physique. Les élèves du secondaire et de prépa abordent la physique comme s'il s'agissait d'un domaine d'application des mathématiques et donc que l'on doive démontrer avec les mêmes méthodes les résultats qu'on expose. Les profs sont sans doute en cause dans la mesure où ils ne présentent pas d'abord les méthodes et concepts de la physique générale pour ensuite aborder chaque domaine de la physique. Il est sur que lorsque un élève de 1ere ou de Term entend dire par son prof de math qu'il faut tout démontrer et que son profs de physique lui balance les lois de Newton comme ils le font généralement, il y a du flottement. Mais s'il prenait le temps (il ne l'a pas!) d'exposer la génèse et l'histoire de ces lois, cela irait beaucoup mieux.
Pour résumer, la physique ne s'enseigne pas comme les maths, n'adopte pas la même méthode ni les mêmes principes ontologiques. Il vaut mieux le savoir!

[AL-kashi23]

Je pense que tu touches un point crucial du problème de l'enseignement de la physique du moins dans le secondaire : les élèves ne l'abordent pas de la bonne façon. Il faudrait d'abord se poser la question "qu'est ce que la physique ?". En effet, en prenant la mauvaise direction, en pensant la physique comme "domaine d'application des mathématiques [...] ou l'on doit démontrer avec les mêmes méthodes les résultats qu'on expose", pour citer un physicien de renom, ces élèves ( dont j'ai pu faire partie jusqu'à peu) considèrent alors la physique comme Science de l'à peu près où on obtient ce qu'on veut obtenir ce qui peut même ammener à un dénigrement de cette matière. L'analogie entre enseignements des maths et de la physique doit, je pense, cesser mais le problème c'est que les profs eux même peuvent l'entretenir...

Tout ça pour dire que Dominique, je crois, a parfaitement cerné le problème.

[Cyril Mar]

Bonjour !

Après avoir observé quelque peu les mathématiciens au travail, il m'a semblé qu'ils recouraient souvent à des exemples pour illustrer leurs propos. Ils font notamment appel à des images (figures, schémas, etc.). Par exemple, les textes de Poincaré sont plutôt bien fournis en exemples. Cela va même plus loin. Dans un des derniers articles (peut-être le dernier), publié en 1912, le grand mathématicien français explique qu'il s'est efforcé depuis deux ans de démontrer une conjecture, mais qu'il n'a réussi qu'à vérifier l'énoncé pour un assez grand (jamais assez grand, forcément) nombre de cas. L'accumulation d'exemples vérifiant l'énoncé vient ici renforcer l'intuition du mathématicien. Toutefois, il est bien certain que le recours à des exemples (qui sont des cas particuliers) ne suffit pas à obtenir le général. Dès lors, je crois que, bien que le recours à des exemples dans l'enseignement des mathématiques (quel que soit le niveau) soit intéressant à pratiquer, il est dangereux de ne vouloir faire acquérir une notion mathématique que sur la base d'exemples. La définition ne doit pas être réduite à l'exemple. Mais l'exemple permet de mieux fixer la pensée. Je crois que l'une des meilleures manières d'enseigner les mathématiques, et qui est le plus souvent pratiquée en faculté, consiste par conséquent à commencer par exposer la définition générale et, ensuite, à se servir de quelques exemples pour aider à la compréhension. Mais le danger reste, pour l'étudiant, d'assimiler la définition à l'exemple et, donc, de perdre le caractère général de la notion ou du théorème qui sont en jeu.

[nuage]

Salut,
en ce qui concerne l'enseignement de la physique, en France au moins, il y a un problème.
Je me permet de me prendre en exemple :
j'ai l'impression de n'avoir jamais rien compris en physique, mais je savais faire les calculs, ce qui me valait de bonnes notes. Totalement imméritées.
Depuis quelques années j'essaye de comprendre la physique élémentaire, et je ne trouve pas ça si facile. Les exemples demandent souvent une analyse assez fine. Ma prof de terminale me l'avait bien dit, mais je ne l'ai pas écouté.

Pour revenir à l'article en cause, la différence semble être entre des exemples pseudo-concrets et des exemples abstraits. Ce qui n'est pas la même chose qu'une absence d'exemple opposée à des exemples.

[Dominique Lefebvre]

Salut,
en ce qui concerne l'enseignement de la physique, en France au moins, il y a un problème.
Je me permet de me prendre en exemple :
j'ai l'impression de n'avoir jamais rien compris en physique, mais je savais faire les calculs, ce qui me valait de bonnes notes. Totalement imméritées.
Depuis quelques années j'essaye de comprendre la physique élémentaire, et je ne trouve pas ça si facile. Les exemples demandent souvent une analyse assez fine. Ma prof de terminale me l'avait bien dit, mais je ne l'ai pas écouté.

Pour revenir à l'article en cause, la différence semble être entre des exemples pseudo-concrets et des exemples abstraits. Ce qui n'est pas la même chose qu'une absence d'exemple opposée à des exemples.

Bonjour,
On parlait dans un autre fil des cours de Feynman. Par curiosité, comparez donc l'introduction des lois de Newton par Feynman et n'importe quel cours de physique de taupe (ce sont les pires) ou de fac française. C'est la stupeur! Dans les cours de taupe, la deuxième ligne du cours est une différentielle. A la quatrième, on résoud une équation différentielle puis l'on étudie les aspects mathématiques des solutions! Convenez que j'exagère à peine...
Où est la physique? Aux US, l'enseignement de la physique est plus physicien et beaucoup moins mathématicien. Dans le cours de Feynman, mais aussi dans les autres, il y a aussi peu d'équations que possible, leur forme est discutée d'après leurs implications physiques et les solutions sont étudiées par leurs conséquences physiques.
POurquoi ne pas le faire en France? J'ai ma théorie, qui rejoint la remarque de Nuage: parce que c'est compliqué et difficile. Parce que cela demanderait aux élèves de comprendre la physique du monde qui les entoure. Et ça, c'est pas gagné.
Depuis des annèes, l'UdP (L'Union des Physiciens qui est devenue l'Union des Professeurs de Physique, mais tous les membres de l'UdP ne sont pas profs!) se bat contre ce fléau. Sans résultat... Dommage parce qu'au début du siècle dernier, les Nobels de Physique étaient souvent français. Maintenant, c'est dur!Nos derniers Nobels étaient des physiciens qui partagent les idées exprimées ci-dessus et qi les soutiennent (par exemple, "La Main à la pâte"...)...