Divisibilité, nombre premier

[Baptiste789]

Bonjour, j'ai une question assez tordu mais j'arrive pas à trouver la réponse...

Soit P_n un nombre premier au rang n, donc P_1=2 P_2=3...

# est le symbole correspondant à la primorielle (pas factorielle), #5=30

Pourquoi est-ce que pour un P_n quelconque, pour avoir la séquence la plus grande de nombre divisible par un nombre positif égal ou inférieur à P_n sauf 1, il faut que le nombre au centre de cette séquence soit divisible par #P_n et la séquence égale à 2 x P_(n+1) - 1 ? Je précise, séquence où l'on ne prend pas en compte le nombre avant et après celui qui est divisible.

Par exemple prenons P_n=5
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

#P_n = 30 nombre du milieu. 29 et 31 on ne prend pas en compte. Sauf 29 et 31, les nombres de 24 à 36 sont divisibles par 5, 4 3 ou 2. Il y a 13 nombres de 24 à 36, donc la séquence est égale à 13 qui est aussi 13= 2 x P_(n+1) - 1 = 2 x 7 - 1

Et jamais dans le cas où P_n=5 on trouvera une séquence plus grande que 13 nombres et les séquences les plus grandes ont forcément comme nombre du milieu, un nombre divisible par 30.

Voilà je sais pas si c'est clair, mais c'est une question dont j'arrive pas à comprendre pourquoi.

[catamat]

Bonjour

Bon c'est un post assez ancien mais peut être que celui qui a posté attend toujours une réponse.

Votre nombre x=30 est donc le produit des trois premiers nombres premiers, 2*3*5

Bien sûr x-1 et x+1 dont premiers (résultat connu)
par contre x-2, x-3, x-4, x-5, x-6 sont divisibles soit par 2 soit par 3 soit par 5 de même que x+2, x+3, x+4, x+5 et x+6 (la factorisation est immédiate)
mais cela ne marche plus pour x-7 et x+7 d'où le résultat.

On peut généraliser cela assez facilement pour x=2*3*5*7*...*p_n

[Baptiste789]

Bonjour merci de votre réponse,

Cependant ce que je recherche à savoir c'est :

Là dans notre cas il y a 13 nombres consécutifs (excepté 29 et 31) qui sont divisibles soit par 2 soit par 3 soit par 5.
Et je remarque que ce nombre de nombres consécutifs est strictement inférieur à 13 si x n'est pas un multiplie de 30.

Mais je n'en ai pas la démonstration et encore moins la généralisation.