Diverses preuves de l'irrationnalité de √2

[leon1789]

BONSOIR

Bon voici un petit topic pour s'amuser à recenser ou ré-écrire des preuves de l'irrationalité de (et assimilable)

Voici la liste de quelques preuves avec ce qu'elles utilisent (ou pas) :

Preuve par l'absurde classique avec fraction irréductible
[url="http://www.maths-forum.com/showpost.php?p=458463&postcount=24"]http://www.maths-forum.com/showpost.php?p=458463&postcount=24[/url]
[url="http://img98.imageshack.us/my.php?image=racinede2irrationnelpa6.jpg"]http://img98.imageshack.us/my.php?image=racinede2irrationnelpa6.jpg[/url] (par oscar)

Preuves avec valuation 2-adique
http://www.maths-forum.com/showpost.php?p=466612&postcount=8
[url="http://www.maths-forum.com/showpost.php?p=458497&postcount=30"]http://www.maths-forum.com/showpost.php?p=458497&postcount=30[/url]
http://www.maths-forum.com/showthread.php?p=556182&posted=1#post556182 (avec minoration de |(p/q)²-2| )

Preuves par l'absurde, sans divisibilité dans Z
http://www.maths-forum.com/showpost.php?p=479963&postcount=19
[url="http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/profplus/publica/bulletin/bull15/anecdote.htm"]http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/profplus/publica/bulletin/bull15/anecdote.htm[/url]
http://pruno.dagen.free.fr/rc2.pdf (par Zweig)

Preuve avec descente infinie et calcul modulaire
http://www.maths-forum.com/showpost.php?p=466617&postcount=10

Preuve de l'irrationalité de sans divisibilité dans Z, avec une suite récurrente
http://www.maths-forum.com/showpost.php?p=467025&postcount=18

Preuve de l'irrationalité de avec valuations p-adiques
[url="http://www.maths-forum.com/showpost.php?p=444779&postcount=5"]http://www.maths-forum.com/showpost.php?p=444779&postcount=5[/url]

Preuve de l'irrationalité de avec pgcd
[url="http://maths-forum.com/showpost.php?p=426010&postcount=21"]http://maths-forum.com/showpost.php?p=426010&postcount=21[/url]



Exercice en complément :
[url="http://maths-forum.com/showpost.php?p=460276&postcount=2"]http://maths-forum.com/showpost.php?p=460276&postcount=2[/url]

[leon1789]

Bonsoir,

J'ai eu la désagréable surprise (ce n'est pas la première fois depuis quelques semaines sur d'autres sujets...) de voir disparaitre ce petit topic, sans que j'en sois prévenu, sans que je reçoive d'explication par message privé.

Quelle en est la raison ? Une raison technique (robot, etc) ou bien plus fondamentale (charte, etc) ?

Merci d'éclairer ma lanterne :zen:

[Dominique Lefebvre]

Bonsoir,

J'ai eu la désagréable surprise (ce n'est pas la première fois depuis quelques semaines sur d'autres sujets...) de voir disparaitre ce petit topic, sans que j'en sois prévenu, sans que je reçoive d'explication par message privé.

Qu'elle en est la raison ? Une raison technique (robot, etc) ou bien plus fondamentale (charte, etc) ?

Merci d'éclairer ma lanterne :zen:

Bonsoir,
Relis le message important de la modération en tête du lycée par exemple. Il n'y a pas d'exception à la règle....

[leon1789]

J'imagine que ce n'est pas uniquement à cause du mot "BONSOIR" qu'il y a problème. :id:

Je suis étonné que ce sujet soit effacé aujourd'hui avec tant de promptitude alors que, sur ma demande, il a été déplacé par vos soins (je parle des modérateurs de manière générale, sans savoir précisément lequel parmi vous) du Café vers le Lycée, il y a déjà une dizaine de jours.

Alors je vais expliquer ma demande : j'aimerais, si possible, qu'on ouvre un sujet dans lequel on échangerait (comme tize et d'autres l'ont fait !) diverses preuves du problème très classique précité, histoire de...

Si je me permets d'écrire publiquement cette demande (alors que je pourrais passer par MP), c'est simplement pour lancer cette idée qui me parait intéressante. Je ne pense pas être le seul à penser qu'un tel sujet ne mange pas de pain.

En l'état actuel du message au-dessus, est-il problématique de faire référence (via un lien direct) à des messages écrits dans d'autres discussions ?

[Dominique Lefebvre]

J'imagine que ce n'est pas uniquement à cause du mot "BONSOIR" qu'il y a problème. :id:

Si précisément. Je trouve très regrettable d'avoir à rappeler les règles élémentaires de politesse... Nous ne sommes pas chez les sauvages et pas davantage dans une cour de récré.

[tize]

Bonsoir,
Relis le message important de la modération en tête du lycée par exemple. Il n'y a pas d'exception à la règle....

Bonsoir,
j'ai bien relu le message de la modération du lycée et je ne comprends vraiment pas pourquoi le message à été supprimé ! :doh:
Le but n'étant pas de donner la réponse à un exercice mais bien de référencer diverses preuves de l'irrationalité de , ce qui me parait assez intéressant et bien instructif au contraire.
Si c'est à cause du mot "bonsoir" je trouve la sanction complètement démesurée (mais bon c'est Dominique le chef)...cela arrive à tout le monde, un rappel aurait suffit, d'autant que le message initial n'était vraiment pas du tout agressif et je n'avais pas du tout non plus l'impression d'être entré dans une discussion de sauvages...
De plus Dominique je me permet de faire remarquer que dans : "Il n'y a pas d'exception à la règle...." il ne devrait donc pas non plus en avoir pour des discussions qui partent en vrille et ne sont tout de même pas fermées...
Je remet donc le lien de l'élégante preuve de l'irrationalité de racontée par Michel Mendès France : http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/profplus/publica/bulletin/bull15/anecdote.htm

[leon1789]

Si précisément. Je trouve très regrettable d'avoir à rappeler les règles élémentaires de politesse... Nous ne sommes pas chez les sauvages et pas davantage dans une cours de récré.

:ptdr: c'est de l'humour ? ou il faut continuer à écrire "bonjour"/"bonsoir" après son 15 ième message de la journée ? (...comme c'était le cas du message supprimé...)

ok, bon, alors ça continue à rouler ! :we:

[leon1789]

Tous les entiers non nuls s'écrivent de manière unique comme produit
d'un nombre impair et d'une puissance de 2. Soit p,q deux entiers non
nuls : l'exposant de 2 est pair dans , et impair dans . Donc
, donc .

[Dominique Lefebvre]

Bonsoir,
Si c'est à cause du mot "bonsoir" je trouve la sanction complètement démesurée (mais bon c'est Dominique le chef

Bonsoir,
Non, je ne suis pas le chef! Simplement un modérateur qui essait de maintenir un minimum d'ordre et de serénité dans ce forum.
La courtoisie est un élément essentiel de cet ensemble.
La sanction est automatique : toute discussion non conforme est supprimée. Les participants sont prévenus et la grande majorité d'entre eux respectent cette règle.
Je ne vois pas de raison de polémiquer plus longuement sur ce sujet.

Dominique

[leon1789]

Quelles sont les solutions entières (p,q) de ?

On a , et

Si alors , donc , et ainsi .

Ainsi, on peut définir une suite de couples solutions ...

Par principe (qu'il n'existe pas) de descente infinie dans les
entiers, les entiers vérifiant sont uniquement p=q=0.

On en déduit que p/q n'existe pas (et ne risque pas d'être égal à !)

[leon1789]

Salut leon,
une autre démonstration très jolie de l'irrationalité de racontée par Michel Mendès France

oui, très ! (je l'ai bien entendu ajoutée à la liste.)

[_-Gaara-_]

Quelles sont les solutions entières (p,q) de ?

On a , et

Si alors , donc , et ainsi .

Ainsi, on peut définir une suite de couples solutions ( ...

Par principe (qu'il n'existe pas) de descente infinie dans les
entiers, les entiers vérifiant sont uniquement p=q=0.

Bonsoir, ( :arme: :arme: )
C'est le même principe que le sujet du bac 2003

[Timothé Lefebvre]

Il y a eu ça au bac ?!
Mais c'est du niveau troisième (seconde peut-être) !

[leon1789]

Il y a eu ça au bac ?!
Mais c'est du niveau troisième (seconde peut-être) !

Si tu le dis !

...preuve que les choses sont plus simples qu'on le veut le faire croire habituellement.

[leon1789]

Ca peut paraitre bête mais il y a deux choses que je n'ai pas compris :

-valuations p-adiques kézako?

Pour faire simple (mais on peut s'y prendre autrement), pour un nombre premier p donné, la valuation p-adique d'un entier N est l'exposant de p dans la décomposition primaire de N. Autrement dit, c'est le nombre de fois que p divise N.

-dans l'anecdote de Michel Mendès France, les symbôles de la ligne où il suppose rationnel : Î

le Î doit être lu comme

[tize]

C'est un petit problème qu'il doivent avoir sur leur site avec le LATEX, il faut lire:


EDIT : un temps de retard :we:

[leon1789]

...une autre preuve n'utilisant pas la divisibilité dans Z, mais plutôt son caractère discret.

Soit d un entier naturel : montrons que est un entier (naturel) ou bien un irrationnel.

---
Soit la partie entière de , la partie fractionnaire de (donc ), et un entier t tel que .

Alors tous les éléments de la suite géométrique sont des entiers vérifiant aussi . En effet, par récurrence : l'initialisation est triviale ( !), et pour l'hérédité



Or la suite u tend vers 0 (car ), et comme toute suite d'entiers tendant vers 0, elle est nulle à partir d'un certain rang. Ainsi q=0 ou t=0.

Conclusion : si q=0 alors est un entier,
sinon, cela force t=0, ce qui implique que n'est pas rationnel.

[Zweig]

On définit l'ensemble comme . Par l'absurde, supposons que ne soit pas vide. Alors d'après les axiomes de Peano, il admet un plus petit élément que l'on note . On considère maintenant le réel . Nous alors montrer que ce réel est un entier strictement positif :

On a . Comme par hypothèse, , alors les réels et sont en fait des entiers strictement positifs. Donc, par définition, . Or , ce qui contredit la minimalité de . Donc est vide.

En particulier, lorsque , on montre que n'est pas entier.