Salut,
Je me place dans le cas des anneaux commutatifs pour ne pas compliquer les choses.
Un anneau (commutatif unitaire) est un ensemble A muni de deux lois notées
et
vérifiant un certain nombre de propriétés que je ne vais pas énumérer ici (que l'on trouve facilement sur le net).
L'anneau est alors noté parfois
En particulier, il y a deux éléments qui sont à part :
- un premier élément noté
aussi appelé "l'élément neutre pour la loi
"
C'est un élément qui est tel que pour tout
- un deuxième élément noté
aussi appelé "l'élément neutre pour la loi
". C'est un élément qui est tel que pour tout
Maintenant, posons nous la question suivante: si je prends un élément quelconque
, est-il possible de trouver un autre élément
tel que
??
Si jamais c'est possible, on dira alors que
est inversible (ou que
possède un inverse).
Exemple: dans l'anneau
, l'élément
est inversible. En effet, il est possible de trouver
tel que
. Il suffit de prendre
En revanche, l'élément
n'est pas inversible. On aura beau chercher des heures et des heures, on ne trouvera aucun
tel que
puisque
fait toujours
Si on réfléchit bien, dans ce cas particulier de l'anneau
, pour n'importe quel nombre
sauf 0,il sera possible de trouver un inverse de
Autre exemple: dans l'anneau
, l'élément
n'est pas inversible.
En effet, on peut chercher là aussi des heures, impossible de trouver
tel que
(le seul y qui convient n'est pas un nombre dans
puisqu'il n'est pas entier).
En revanche, l'élément
est inversible puisque
avec
Revenons au cas général :
si je prends un anneau
et que je prends au pif un élément
, alors j'ai deux possibilités :
- soit
possède un inverse ;
- soit
n'en possède pas.
Nous sommes également sûr d'un truc (qui peut se démontrer en utilisant la distributivité): c'est que
n'a jamais d'inverse dans
n'importe quel anneau (sauf l'anneau nul éventuellement mais on s'en fout)Attention, on arrive à la conclusion du post :
Il existe des anneaux pour lesquels TOUS LES ÉLÉMENTS (SAUF 0) sont inversibles. C'est typiquement le cas de l'anneau
comme évoqué plus haut. Ces anneaux vérifiant cette propriété
sont appelés des corps .
Ainsi
est un corps tandis que
n'en est pas un.
Dernière remarque: dans tout le post, je parle d'UN inverse mais on peut démontrer que si un élément admet UN inverse, alors il en admet QU'UN seul et donc il y a unicité de l'inverse.
Pseudo modifié : anciennement Trident2.