La différence entre ces trois conjectures

[Baptiste789]

Bonjour, j'aimerais savoir,
Quelles sont les différences entre la conjecture de Polignac, la conjecture des nombres premiers jumeaux et la première conjecture de Hardy Littlewood ?
J'ai l'impression que se sont les mêmes...

Merci d’avance pour vos réponses.

[Ben314]

Salut,
Ben... non, c'est pas la même chose.
De par leur formulation même, la conjectures de Polignac ainsi que la première conjecture de Hardy Littlewood impliquent (si elles sont vrais) qu'il y a une infinité de nombres premiers jumeaux, mais les réciproques sont à priori fausse :
- Pour celle de Hardy Littlewood, ça m’étonnerais plus que fort que de savoir uniquement qu'il y a une infinité de premiers jumeaux soit suffisant pour en déduire leur répartition asymptotique : tu n'a qu'à regarder le gap (pour ne pas dire fossé) qu'il y a entre les preuve qu'il y a une l'infinité des nombre premier et celles du théorème des nombres premiers pour te rendre compte.
- Et pour celle de Polignac, ben j'y crois pas plus vu que ce qu'elle affirme semble bien plus fort que le fait qu'il y ait une infinité de premiers jumeaux : elle dit qu'il y a une infinité de premiers à distance 2 l'un de l'autre (donc des jumeaux), mais aussi une infinité à distance 4, une infinité à distance 6, etc . . .

Après, il est effectivement possible que ces trois conjectures soient démontrées simultanément par un même résultat donnant la répartition asymptotique des couples (p,p+2k) , mais ça serait vraiment très très très fort !!!