Développement limité

[hanouna]

J'ai des problèmes avec développement limité et j'aimerai bien savoir ses utilités :hein:

[nekros]

Bonjour,

Sans entrer dans les détails :ils permettent d'étudier le comportement d'une fonction en un point, de trouver facilement des limites de fonctions et d'étudier les positions d'une courbe par rapport à ses tangentes.

Thomas G :zen:

[Chimomo]

C'est un instrument d'étude locale de fonction qui a donc un grand intérêt en analyse (et qui permet de généraliser la notion de dérivée pour des applications plus compliquées que des fonctions de R dans R).

Sinon en physique ça sert énormément. On effectue très souvent des développements limités (bien que les termes négligeables soient généralements carrément ignorés).

[nekros]

J'ai des problèmes avec développement limité

Dans les calculs ?
Tu peux donner des exemples où tu bloques si tu veux :++:

Thomas G :zen:

[hanouna]

bonjour et merci pour votre réponse;jaimerai bien savoir plus. :we:

[polymathematic]

bonjour et merci pour votre réponse;jaimerai bien savoir plus. :we:

en fete ca sert a apropche des fonction par des polynomes(et c tjs en un point donne)
exemple: si est tres petit

[anima]

bonjour et merci pour votre réponse;jaimerai bien savoir plus. :we:

Suppose que tu te trouves avec une fonction dont la limite ou la limite de la dérivée ne peuvent pas etre trouvées facilement.
Par exemple... Celle que j'ai eu en oral de maths, tiens.
Il est tres difficile de trouver la limite de ce truc en x=0. Par contre...
On sait que en x=0, le DL de:

En remplacant, on se retrouve avec:

Or, on sait aussi que...

Et donc, on se retrouve avec...

Ta fonction tend donc vers 1.
Avec le taux de variation, on trouve la valeur de la dérivée, égale a 1/12, sauf erreur de calcul.
Et ceci n'est qu'une application parmis tant d'autres; tu peux aussi trouver des asymptotes obliques de la meme facon, avec par exemple:

En posant X=1/x, on a X->0 quand x->+inf...

Sinon, pour la physique, tu entendras souvent dire que:
sin x ~ tan x ~ x pour x petit. Ceci vient des DL; car...

Les deux sont ~ a x. :p
Seulement, les physiciens oublient le petit o(x), terme tendant vers zéro quand x->0, mais ne tendant pas forcément vers zéro en d'autres valeurs. Voila pourquoi l'approximation se fait en général entre -pi/8 et pi/8 d'angle.

Edit: toutes les formules viennent de la formule de Maclaurin avec reste de Young, qui dit clairement que une fonction peut admettre un DL a l'ordre si et seulement si elle est dérivable n fois dans un intervalle proche de la valeur recherchée (zéro par défaut), et si c'est vrai, on a: