Développement d'un gros produit de polynômes à plusieurs var

[Olympus]

Bonjour !

Des fois je suis amené à développer de gros produits de polynômes symétriques ou cycliques à 3~4 variables . Comme je connais le binôme ainsi que le multinôme de Newton ( s'il y a d'autres identités à connaître qui pourraient m'aider, n'hésitez pas ! ), et développer le produit de deux sommes, je peux en théorie arriver à les développer . Mais le problème c'est que c'est souvent très long .

N'y aurait-il pas des astuces qui pourraient m'aider ?

J'avais vu dans un thread sur Mathlinks.ro que quelqu'un était arrivé à voir rapidement ce qui s'annule dans un gros produit de sommes symétriques grâce au graphe de permutations ( il avait dit quelque chose du genre comme quoi les lignes avec la même couleur s'annulent etc... ), mais je n'ai plus le lien . Si quelqu'un connait un peu sur le sujet, merci de m'expliquer :we:

Y a-t-il des techniques similaires pour voir ce qui s'annule dans un produit de polynômes symétriques ( ou cycliques ), ce qui va avec qui ( en gros, retrouver les coefficients de chaque terme ) etc... ?

Aussi, j'ai remarquer que pour développer par exemple , on peut se servir du multinôme de Newton, et exploiter la symétrie pour réduire le nombre de cas à traiter .

En effet, , la somme étant faite sur toutes les combinaisons de telles que .

Au lieu de chercher de sommer sur toutes les combinaisons possibles ( il y en a 45, y a-t-il un moyen de les calculer au fait ? :help: ), on exploitera la symétrie .

Les combinaisons possibles sont :

(8;0;0) et ses 2 permutations .
(7;1;0) et ses 5 permutations .
(6;2;0) et ses 5 permutations .
(6;1;1) et ses 2 permutations .
(5;3;0) et ses 5 permutations .
(5;2;1) et ses 5 permutations .
(4;4;0) et ses 2 permutations .
(4;3;1) et ses 5 permutations .
(4;2;2) et ses 2 permutations .
(3;3;2) et ses 2 permutations .

On sommera juste sur ces 10 combinaisons, en utilisant le symbole ( cf. mon autre post sur les sommes symétriques ) pour avoir le reste des permutations .

Donc .

Soit exactement ce que me donne wxMaxima sur mon PC ^^

Y a-t-il un moyen d'optimiser encore cela ?

Avez-vous d'autres astuces ?

Merci !

[Ericovitchi]

Moi j'aime la solution du faignant qui est de demander à tonton Wolfram:

(a^3+b^3+c^3)^8=a^24+8 a^21 b^3+8 a^21 c^3+28 a^18 b^6+56 a^18 b^3 c^3+28 a^18 c^6+56 a^15 b^9+168 a^15 b^6 c^3+168 a^15 b^3 c^6+56 a^15 c^9+70 a^12 b^12+280 a^12 b^9 c^3+420 a^12 b^6 c^6+280 a^12 b^3 c^9+70 a^12 c^12+56 a^9 b^15+280 a^9 b^12 c^3+560 a^9 b^9 c^6+560 a^9 b^6 c^9+280 a^9 b^3 c^12+56 a^9 c^15+28 a^6 b^18+168 a^6 b^15 c^3+420 a^6 b^12 c^6+560 a^6 b^9 c^9+420 a^6 b^6 c^12+168 a^6 b^3 c^15+28 a^6 c^18+8 a^3 b^21+56 a^3 b^18 c^3+168 a^3 b^15 c^6+280 a^3 b^12 c^9+280 a^3 b^9 c^12+168 a^3 b^6 c^15+56 a^3 b^3 c^18+8 a^3 c^21+b^24+8 b^21 c^3+28 b^18 c^6+56 b^15 c^9+70 b^12 c^12+56 b^9 c^15+28 b^6 c^18+8 b^3 c^21+c^24

[Olympus]

Please ? :-)

Ah aussi, les PC doivent bien utiliser des algorithmes rapides pour ça, car sinon ce serait trop long pour eux s'ils appliquent comme l'humain les lois de distribution, de commutativité etc... Si c'est bien ça, alors lesquels ?

[benekire2]

on a l'avantage de réfléhir par rapport aux PC, mais ils sont quand même nettement plus rapide que nous pour les calculs il me semble...

j'y connais strictement rien aux algos des PC, mais c'est pas sûr qu'ils fassent autrement.