par Ben314 » 10 Déc 2010, 15:59
Salut,
Si tu parle de ta propriété 1), il me semble qu'on s'en sort trés simplement en terme de barycentres :
Si M=Bar{[A,a],[B,b],[C,c]} alors la droite (AM)\{A} est l'ensemble des Bar{[A,?],[B,b],[C,c]} donc, si b+c est non nul, A1=Bar{[B,b],[C,c]} (si b+c=0 A1 n'existe pas)
Idem pour B1 et C1 à permutation prés.
D'où A2=Bar{[B1,1],[C1,1]}=Bar{[A,a/(a+c)],[C,c/(a+c)],[A,a/(a+b)],[B,b/(a+b)]} donc la droite (AA2)\{A} est l'ensemble des Bar{[A,?],[B,b(c+a)],[C,c(a+b)]}
Idem pour B2 et C2 à permutation prés.
Il est alors clair que, si a(b+c)+b(c+a)+c(a+b) est non nul alors les trois droites sont sécantes en N=Bar{[A,a(b+c)],[B,b(c+a)],[C,c(a+b)]}
Ce qui me parrait plus marrant, c'est de chercher les M tels que a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)=0, cas dans lequel les droites (AA2), (BB2) et (CC2) sont parallèles deux à deux (vu que si deux se coupaient, la troisième devrait passer par le point d'intersection). Le résultat est assez joli (mais connu).
Aprés, il est assez simple de voir quels sont les "points interessants" par la transformation M=Bar{[A,a],[B,b],[C,c]} -> N=Bar{[A,a(b+c)],[B,b(c+a)],[C,c(a+b)]}.
Par exemple, le centre de gravité et les milieux des cotés sont les seuls point fixe.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius