Des suites et séries de fonctions

[Elerinna]

Soit : , et

On suppose que : .

Montrer que f est développable en série entière sur .

[nuage]

Soit : , et

On suppose que : .

Montrer que f est développable en série entière sur .

par exemple

[Elerinna]

La démonstration est validée par la généralisation de la preuve et démontée par le contre-exemple. :dodo:

[Judoboy]

La démonstration est validée par la généralisation de la preuve et démontée par le contre-exemple. :dodo:

Nan mais je crois que là il vient de donner un contre-exemple en fait.

[Doraki]

Nan mais je crois que là il vient de donner un contre-exemple en fait.

ce n'est pas un contre-exemple vu qu'il ne vérifie pas les hypothèses de l'énoncé (sauf si a=0, et alors l'énoncé ne veut plus dire grand chose et on a quand même f = 0 sur [0;0])

[Judoboy]

Ca remonte à longtemps mais de mémoire en maths spé c'était l'exemple typique de la fonction Cinfini non développable en série entière. Et j'ai bien l'impression que toutes les dérivées paires sont positives.

[Doraki]

ben si je ne m'abuse, sa dérivée seconde est du signe de (4-6x²), qui n'est pas tout le temps positif, loin de là.

[Judoboy]

ben si je ne m'abuse, sa dérivée seconde est du signe de (4-6x²), qui n'est pas tout le temps positif, loin de là.

Au temps pour moi, mais du coup je comprends pas le message de nuage...

[Nightmare]

A mon avis, nuage a pris le 2n comme un exposant et non comme une dérivée 2n-ème.

[Elerinna]

L'exercice généralise l'étude des fonctions complètement convexes, i.e.. Faire un DL de f.

[SimonB]

Pour les curieux, il s'agit d'un théorème dit "de Bernstein" (et c'est un développement classique pour un agrégatif).
Un exemple d'une telle fonction (parce que ça n'est pas vraiment évident à trouver) est la fonction tangente... Mais elle a toutes ses dérivées positives. Connaissez-vous une fonction dont seules les dérivées d'ordre pair sont positives ?

[Judoboy]

exp(-x) ?

Pas de message de moins de 10 caractères -.-

[Elerinna]

L'approximation de Bernstein telle que mentionnée s'applique à la convergence simple d'une espérance vers sa fonction pour une loi binomiale, en étant une conséquence de la loi faible des grands nombres.