Des notions algébriques : en arithmétique

[Elerinna]

Voici un exercice proposé à l'oral de l'E.N.S de Paris (Ulm) :

1. Soit .
Déterminer .

2. Soit premier.
Combien y a-t-il de carrés dans ?

Montrer que : tel que :

[ev85]

Voici un exercice proposé à l'oral de l'E.N.S de Paris (Ulm) :

1. Soit .
Déterminer .

2. Soit premier.
Combien y a-t-il de carrés dans ?

Montrer que : tel que :

1. 0 ou -1 selon que p est premier ou pas.
2. un qui est nul et qui ne le sont pas.

, même à la rue d'Ulm. (0,1) convient.

Enoncé à revoir à mon humble avis.

[Le_chat]

Je crois qu'un exo qui s'en rapproche, tombé à Ulm est:

Dénombrer les (x,y) dans Z/pZ tels que x^2+y^2=1.

[Matt_01]

Tiens, j'ai trouvé une solution à ton exo le_chat :
On peut montrer que l'on peut définir une loi de groupe sur privé de par
Alors l'ensemble que l'on cherche est un sous groupe de E et donc divise son cardinal.
Il suffit de determiner le cardinal de
On a d'abord la solution .
Ensuite, si on tient un élement avec x et y différent de 0, alors est un carré soit soit est pair soit divisible par 4.
Ainsi :
Si est divisible par 4, étant donné un y non nul, l'équation admet une solution, et donc 2.
Donc le cardinal recherché est .
Si n'est pas divisible par 4, alors le cardinal est de 1.
Ainsi, si non divisible par 4 : card F divise soit Card F =1 ou ou ou .
Sinon card F divise soit card F = 1, ou

Mais, on montre aussi que 4 divise card F.
En effet, si on réalise une partition de par (en identifiant classe d'équivalence et élément de [|1;n|]) :




Alors les involutions ; ; envoient respectivement sur , et .
Donc card F = 4 card I.
On peut montrer facilement que card F <= (Etant donné x, il ne peut y avoir au maximum que deux y tel que x²+y²=1)
Ainsi : si 4 ne divise pas, card F ne peut valoir que (le seul divisible par 4)
sinon card F = .
Au final, .


Mais je soupconne plus court ... :marteau:

[Doraki]

Pour plus court :

Si p = 1 mod 4, alors -1 a une racine, i, dans Fp, et on peut réécrire
x²+y² = 1 en (x+iy)(x-iy) = 1.
Après changement de variable inversible u=x+iy et v=x-iy (x = (u+v)/2 et y = i(v-u)/2),
on en est donc à calculer le nombre de solutions de l'équation u*v = 1.
C'est assez clair qu'il y en a p-1.

Si p = 3 mod 4, on choisit une solution particulière, par exemple (1,0),
puis on dit qu'on a une bijection entre les droites passant par (1,0) et les solutions de x²+y²=1,
en prenant pour chaque droite, l'autre point d'intersection de la droite avec x²+y²=1 :

Pour chaque droite d'équation a(x-1)=by, on cherche les solutions sur cette droite :
a²(x-1)² = b²y² = b²(1-x²) = b²(x-1)(-x-1), donc (x-1)(a²(x-1)+b²(x+1)) = 0, donc on retrouve la solution x=1, y=0 qu'on connaissait déjà, puis la solution x = (a²-b²)/(a²+b²), y = -2ab/(a²+b²).
Lorsque b=0, on obtient la droite tangente en (1,0) à x²+y²=1, et on reobtient la solution (1,0).
On a donc une bijection entre les droites passant par (1,0) et les solutions de x²+y²=1.

Comme il y a p+1 droites passant par (1,0), il y a donc p+1 solutions.

(on pourrait tout faire comme ça, en fait. Dans le cas où p=1 mod 4, il y aura 2 droites qui ne réintersecteront pas x²+y²=1, celle où a/b = i et celle où a/b = +i )

[Matt_01]

Ok, merci Doraki.
Au final il semble nécessaire d'utiliser l'existence (ou non) d'une racine de -1.