Dérivée d'intégrale

[stummel]

Bonjour à tous !

La situation est la suivante :
Soit
Je cherche à comprendre comment calculer .

Ce qui m'intéresse n'est pas forcément une formule toute faite mais plutôt la manière dont on y arrive.

Merci pour vos réponses.

[phyelec]

Bonjour

si F est une primitive de f et I(t)= F(t)-F(0) comme F est dérivable de dérivée connue F'=f , il est très facile de voir que I(t) est dérivable et de calculer sa dérivée.

de manière plus générale :

si

[Ben314]

Salut,
Je sais pas trop à quelle niveau se place la question :

- Si c'est à un niveau totalement élémentaire (balbutiement dans le calcul intégral avec uniquement des fonctions continues), alors effectivement, on peut vérifier facilement que toute fonction continue admet des primitives et que la dérivée de ces dernière redonne la fonction de départ (preuve facile à faire).

- Par contre si c'est à un niveau plus élevé, là, il y a de gros problème : une fonction peut parfaitement être Lebesgue-intégrable sans pour autant que la dérivée de son intégrale indéfinie redonne la fonction de départ : le cas le plus élémentaire est bien évidement celui de l'indicatrice de Q, mais il y a d'autre cas plus vicieux et les résultat qu'on obtient dépendent de la théorie utilisée pour définir l'intégrale. Avec Kurzweil-Henstock, ça marche plutôt mieux qu'avec Lebesgue :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9 ... C3%A9finie

[phyelec]

j'ai oublié de préciser que a(t) et b(t) sont dérivables. Ma réponse correspond au premier cas de figure décrit par Ben314.

[Ben314]

Je voulais éditer mon premier message pour mettre un lien concernant la preuve que, dans le cas continue, l'intégrale indéfinie est dérivable et de dérivée la fonction de départ, mais on ne peut mettre qu'un lien par message . . .

Bref, la preuve se trouve partout, par exemple sur Wiki. :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... or%C3%A8me
Il semblerais que ce résultat soit nommé "premier (ou deuxième...) théorème fondamental de l'analyse" et que, dans le cas Lebesgue intégrable, les points où l'intégrale indéfinie est dérivable et de dérivée la fonction de départ sont "les points de Lebesgue" (et c'est vrai presque partout au sens de la mesure)

[stummel]

Merci pour vos réponses,

Effectivement, en prenant un peu le temps de réfléchir, j'étais arrivé à un résultat similaire à celui proposé par phyelec, résultat qui me suffisait dans mon cas.