Dérivée et fonction convergente ou divergente

[Plimpton]

Bonjour à tous !

Ce topic est un peu particulier car il est là à cause d'une question que je me suis posée à propos de la différence qu'il peut y avoir entre la dérivée d'une fonction convergente et celle d'une fonction divergente. Au début, je me suis dit qu'une fonction divergente (allant vers l'infini ou -l'infini) ne devait pas avoir une dérivée qui tend vers 0, ou elle serait convergente. En réalité, je me suis rendu compte qu'une fonction comme racine carrée de x ou ln(x) pouvait être divergente, mais avoir une dérivée qui tend vers 0 ! Par exemple, la dérivée de sqrt(x) est 1/(2sqrt(x)), ce qui tend bien vers 0. Tout comme la dérivée d'une fonction convergente comme 1+1/x qui est -1/(x^2). Donc savez-vous si il existe un moyen en utilisant la dérivée d'une fonction, de savoir si la fonction va être divergente ou convergente ?

[Sylviel]

Sans hypothèses supplémentaires je ne pense pas que tu puisse dire quoi que ce soit :
prends la fonction sin(x²)/x par exemple...

[Skullkid]

La seule propriété qui me vient en tête c'est : si f est C^1 telle que f' est minorée par une constante strictement positive au voisinage de +l'infini, alors f tend vers +l'infini en +l'infini (et énoncés similaires en changeant les signes comme il faut).

Sinon, sans rajouter d'hypothèses type monotonie, je vois pas. Les fonctions oscillantes comme celle de Sylviel fournissent typiquement de bons contre-exemples.