Demontrer exp(0)=1

[abel18]

bonjour je cherche a demonter que exp(0) = 1

merci pour l'aide

[Matt_01]

Reviens à la définition de l'exponentielle :
L'exponentielle est l'application réciproque de la fonction logarithme néperien, qui elle même est l'unique primitive de la fonction : s'annulant en 1 et définie sur
D'où soit

[leon1789]

...oui, ou une autre définition possible :
exp est la seule fonction qui est égale à sa dérivée , et qui vaut 1 en 0.

Avec ça, il n'y a plus rien à prouver. :id:

[acoustica]

Si on introduit le chapitre ln/exp avec exp, il n'y a rien à prouver car c'est par définition et alors on prouve que ln est la primitive de 1/x, sinon on définie ln comme primitive de 1/x et alors exp(0)=1 doit se prouver.

[Euler911]

Bonjour,

Ou alors on prouve que exp(x) est une fonction telle que, pour tous y et x de son domaine, f(x+y)=f(x)f(y).

La suite s'ensuit...

[Matt_01]

C'est sûr que cela dépend de la définition que l'on se donne à la base pour l'exponentielle.
Contrairement au lycée, où on nous l'avait introduit de la manière d'Euler911, en prépa on nous a affirmé qu'elle avait été introduite dans un premier temps comme la réciproque du logarithme.
Après, quoi qu'il arrive on arrive aux mêmes choses ^^

[leon1789]

Contrairement au lycée, où on nous l'avait introduit de la manière d'Euler911,

quelle motivation donne-t-on pour s'intéresser à ce problème f(x+y)=f(x)f(y) ?

[Matt_01]

Eh bien il me semble que c'était pour introduire les équas diff :
Avec cette égalité on arrive à f'(x)=f(0)f(x)
On posait alors f(0)=1 et on introduisait l'exponentielle comme cela (f'(x)=f(x))
Après cela on pouvait traiter les équas diffs du premier ordre :)

[leon1789]

ok, merci :zen:

[Bastien L.]

Bonsoir…

Il me semble qu'il n'a pas été dit ceci, qui serait tout aussi judicieux: "exponentielle" est un adjectif en rapport avec le nom "exposant". Les fonctions exponentielles sont des fonctions de la forme f: x-> a^x, où a est dit la base de cette exponentielle. Or, tout nombre (en particulier, ici, e) élevé à la puissance 0 donne 1…

[Euler911]

Bonsoir…

Il me semble qu'il n'a pas été dit ceci, qui serait tout aussi judicieux: "exponentielle" est un adjectif en rapport avec le nom "exposant". Les fonctions exponentielles sont des fonctions de la forme f: x-> a^x, où a est dit la base de cette exponentielle. Or, tout nombre (en particulier, ici, e) élevé à la puissance 0 donne 1…

Dans ce cas, démontre nous cette propriété des exposants...

[Bastien L.]

Ah!…

J'avoue que je ne m'étais pas trop posé la question…

Sur Wikipédia, on propose ceci: a^0 = a^(1-1) = a/a = 1.

(Désolé pour la mise en forme, je ne me suis pas encore penché sur la façon d'écrire de jolies équations…)

[Euler911]

Comment sais-tu que a^(1-1)=a/a ??? Démonstration? :P

Non, là je vais trop loin! C'est la définition d'un exposant.

[Euler911]

Pour de jolies équations regarder ici!

[Bastien L.]

lol

Heureusement qu'on ne re-démontre pas l'ensemble de la connaissance mathématique acquise à chaque nouvelle démonstration…

La démonstration trouvée sur Wikipédia pose des soucis pour le cas a=0, mais ils s'expliquent à ce propos.

Alors, cette démonstration en est-elle bien une, et suffisante?

[Euler911]

Je ne sais pas... il faut que tu attendes des forumeurs plus expérimentés que moi... je ne suis pas mathématicien.

[Bastien L.]

Il n'empêche, il y a un truc qui m'intéresse vivement, c'est l'exponentielle de base 0!

Alors que chacun s'accordera pour la trouver sans intérêt sur \mathbb{R}*, je suis sûr que certains passeraient des nuits à se demander quel est son comportement en 0, ne serait-ce que pour savoir si elle y est définie! :we:

[Euler911]

D'après ce que j'ai peu lire l'exponentielle de base 0 n'a que peut d'intérêt...

Son domaine de définition est et son domaine image est 0... peu utile! Le seule chose qui pourrait être intéressante est d'étudier ceci :

C'est une forme indéterminée, mais pourquoi? Comment? Est-ce que cette indétermination est utile...?



Peut-être...

[leon1789]

héé l'eau !

Ah!…

J'avoue que je ne m'étais pas trop posé la question…

Sur Wikipédia, on propose ceci: a^0 = a^(1-1) = a/a = 1.

(Désolé pour la mise en forme, je ne me suis pas encore penché sur la façon d'écrire de jolies équations…)

la difficulté n'est pas de dire ce que vaut avdc , voire , mais de justifier des propriétés avec des exposants réels, non ?

[fatal_error]

Concernant 0^0, c'est du gros :id: .

Ya des gens (matheux) qui ont pondu des posts plutot pas mal.
En gros, ya des histoires de conventions mais ya aussi des questions de passages à la limite.
Enfin yavait un truc que j'avais lu assez compliqué (pour moi) avec des espaces vectoriels mais ca doit se retrouver facilement avec google, futura-sciences, pe math forum qui sait :zen: