leon1789 a écrit:héé l'eau !
la difficulté n'est pas de dire ce que vaut
avdc
, voire
, mais de justifier des propriétés avec des exposants
réels, non ?
C est d ailleurs un autre moyen de finir l exponentielle,plus intuitif(pas forcément plus pratique):
Si a>0, on sait définir
pour n dans N*.Ca vérifie la propriété fondamentale (P):
^n)
.
On peut définir ensuite
ce qui permet de définir
pour n dans Z de facon a ce que (P) soit respectée.
D autre part,on prouve que si n est dans N*,l application
est une bijection continue strictement croissante de R dans R,ce qui permet de définir la racine n-ieme.
On pose alors
.On vérifie
que
ne dépend de p et q que par p/q puis que (P) est encore vérifiée sur les rationnels.Pour a>0,on a donc défini
sur tous les rationnels.
Finalement,si x est réel,on vérifie que si
)
est une suite de rationnels qui tend vers x,alors
converge vers une limite qui ne dépend pas de
,ce qui permet de définir
pour tout réel x,et (P) est encore vérifiée sur les réels.
Pour finir,on vérifie que la fonction
est dérivable sur R(ca,ca n est a priori pas tres facile.J ai une méthode facile en intégrant la relation
par rapport a y sur un intervalle,mais je sais pas si ya une méthode élémentaire(probablement))
On montre que la dérivée de cette fonction est proportionnelle à la fonction elle meme,on note ln(a) cette proportion.
Une étude rapide de ln montre qu il existe un unique a tel que ln(a)=1,autrement dit il n y a qu une seule valeur de a telle que
soit sa propre dérivée.Ce qui permet de définir e et de récupérer toutes les propriétés que l on connait
