Démonstration par l'absurde : mon avis... et le vôtre ?

[Doraki]

Bah tu déplaces le raisonnement par l'absurde dans la preuve du "passage à la limite", nan ?
On peut faire une preuve directe jusqu'à obtenir
"pour tout > 0, L - wn <= ".

Pour le dernier bout et montrer que L - wn <= 0, tu le fais comment sans raisonnement par l'absurde ?

[leon1789]

Doit-on faire un raisonnement par l'absurde pour dire qu'un réel qui n'est pas positif ( x0) est négatif ? C'est simplement l'utilisation de R = R+ union R-, non ?

[Nightmare]

Et pourquoi un réel tel que x 0 serait-il négatif? A part en disant "Ben s'il ne l'était pas, on aurait ...", je vois mal comment le justifier

[ffpower]

Me souviens plus si on a le droit ou pas à la contraposée dans ce topic.. Auquel cas on pourrait justifier que x>0=>il existe e>0 tq x>e.. ( à savoir e=x/2 )

[Nightmare]

Comme l'a dit je ne sais plus qui, et je partage son point de vue, absurde/contraposition c'est la même chose.

[leon1789]

Et pourquoi un réel tel que x 0 serait-il négatif? A part en disant "Ben s'il ne l'était pas, on aurait ...", je vois mal comment le justifier

Quand on a x 0 alors si on croit qu'il y a une relation d'ordre totale dans R.

(du coup, j'ai modifié la fin de démo : j'ai remplacé un <= par < avant que vous pinaillez dessus :lol3: )

[leon1789]

Donc on peut faire un raisonnement direct, comme ça on voit mieux ce qui se passe, et on peut en déduire plus que ce qui est demandé

Plus longue est la preuve, plus ceci est vrai. Mais ici, avec deux lignes, difficile d'y croire en effet.

C'est plutôt par principe : préfère-t-on décrire une situation qui existe (une suite décroissante convergente), ou une situation qui ne peut pas exister (due à l'hypothèse du raisonnement par l'absurde) ?

[Nightmare]

Si pour tout e>0 alors

Tu l'as réécrit, mais tu ne l'as toujours pas démontré ... Si ta réponse est "c'est évident", c'est pas très convainquant dans ce topic!

[leon1789]

Tu l'as réécrit, mais tu ne l'as toujours pas démontré ... Si ta réponse est "c'est évident", c'est pas très convainquant dans ce topic!

Effectivement je me répète :

pour tout e>0 signifie que x n'appartient pas à l'ensemble des réels strictement positifs.
Or R est l'union de l'ensemble des réels strictement positifs et des réels négatifs.
Comme x n'appartient pas au premier, il appartient donc au second.

De ces trois phrases, laquelle(lesquelles !) pose(nt) problème ?

[Nightmare]

Oui mais encore une fois :

x différent de e pour tout e>0 signifie que x n'appartient pas à l'ensemble des réels strictement positifs

comment le justifies-tu ? Nous sommes d'accord que c'est clair, pour quelle raison ? Car si x était positif, alors blablabla...

Ce que je te demande, c'est de montrer par un raisonnement direct que ce tu as écrit est bien vrai, et ça me semble impossible.

[Doraki]

ok, jusqu'à "pour tout > 0, x ".
Mais il faut bien dire "si x > 0 alors x x, contradiction. Donc x <= 0." pour conclure.

Tu peux utiliser le tiers exclu, ce qui n'est pas plus constructif.

Y'a une différence entre "x n'est pas dans R+*" et "x est dans R-".
Pour prouver le second à partir du premier, tu dois faire un raisonnement par l'absurde.

De tes 3 phrases, c'est celle là qui pose problème :
"Comme x n'appartient pas au premier, il appartient donc au second."

[leon1789]

Heureusement qu'on ne détaille par toutes les preuves comme ça, sinon on ne s'en sortirait pas... :we:

comment le justifies-tu ? Nous sommes d'accord que c'est clair, pour quelle raison ? Car si x était positif, alors blablabla...

Ce que je te demande, c'est de montrer par un raisonnement direct que ce tu as écrit est bien vrai, et ça me semble impossible.

Ok, alors c'est parti pour de la logique pure (que je n'aime pas).

Pour une proposition Q, la proposition non Q est définie par Q => faux

Ici, nous avons une première proposition P : e>0 => non(x=e), c'est-à-dire e>0 => (x=e => faux)
Puis une seconde proposition Q : x>0

Il s'agit de prouver que P => non Q, autrement dit P => (Q => faux).

C'est alors uniquement déductif : P => (Q => (x=x => faux))
Comme x=x est vrai, on simplifie : P => (Q => faux)

Bien sûr, on peut l'écrire "si x>0 alors ...", et conclure que x n'est pas positif. Mais cela n'utilise pas de raisonnement par l'absurde (ou détour par l'absurde).


Dans le même genre, la vraie contraposition est ( non A => non B ) => (B => A) : ceci est lié au tiers exclu et au détour par l'absurde.
L'implication ( A => B ) => ( non B => non A ) n'est pas un détour par l'absurde puisque (A => B) => ((B => faux) => (A => faux))

[Doraki]

Oui je suis d'accord mais comment tu passes de
(non (x>0)) à (x<=0) ?

[leon1789]

[quote="Doraki"]ok, jusqu'à "pour tout > 0, x ".
Mais il faut bien dire "si x > 0 alors x x, contradiction. Donc x faux
On déduit (faux ou C), c'est-à-dire C.

[Doraki]

Bien sûr, on peut l'écrire "si x>0 alors ...", et conclure que x n'est pas positif. Mais cela n'utilise pas de raisonnement par l'absurde (ou détour par l'absurde).

Pour prouver que x<=0, si c'est pas un raisonnement par l'absurde, si c'est pas exactement ce que tu as reproché à la solution attendue, donnée par nightmare, alors je vois pas ce que c'est.

[leon1789]

Je reprends :
on est d'accord sur le fait qu'on prouve de manière "directe" que u(i) est supérieur à tout élément de . J'en conclus que . Vous me dîtes que c'est un raisonnement par l'absurde.

Est-ce dire qu'à chaque fois qu'on utilise implicitement la notion de borne sup, le plus petit des majorants, (de bien grands mots lorsqu'il s'agit d'un simple intervalle..), on fait un raisonnement par l'absurde ?

Est-ce que tout raisonnement qui utilise un résultat établi par l'absurde doit être qualifié lui aussi de raisonnement par l'absurde ? (une sorte d'hérédité)

[Nightmare]

Non il est clair que le raisonnement ne peut pas être dit "par l'absurde" parce qu'il contient un résultat qui est nécessairement prouvé par l'absurde. Tout ce que je soulignais, c'est qu'on a malgré tout besoin de ce raisonnement.

[beagle]

On prouve que si on utilise les démonstrations par l'absurde c'est pas ou moins bien, c'est moins enrichissant au niveau pédagogique.
Donc on doit préférer les méthodes ne passant pas par l'absurde.
C'est ça Léon?

[Nightmare]

On prouve que

"prouver" est un peu fort ici...

[leon1789]

On prouve que si on utilise les démonstrations par l'absurde c'est pas ou moins bien, c'est moins enrichissant au niveau pédagogique.
Donc on doit préférer les méthodes ne passant pas par l'absurde.
C'est ça Léon?

Comme dit Nightmare, prouver n'est pas vraiment le mot.

Ce que je voulais dire par cet exemple de l'énoncé du capes "c'est pourquoi suggérer une preuve par l'absurde ?". Suggère-t-on une preuve par récurrence quand une preuve déductive "habituelle" est possible ?

Ce que je pense, c'est que l'on fait trop de raisonnements par l'absurde. Il y a certes de bonnes raisons d'en faire, mais il y a encore davantage de raisons d'essayer de s'en passer. Raisons pédagogiques et autres.