Pour le mimeTeX utilisé ici, j'ai mis cette page :
http://www.forkosh.dreamhost.com/source_mimetexmanual.html#previewdans mes favoris et je fait des copier-coller des exemples qu'il donnent...
Pour les puissance
rationelle on peut partir un peu comme comme pour les négatifs : pour deux
entiers n et m on démontre que
et on aimerais définir
pour un quotient p/q en se débrouillant pour que la formule sur les entiers reste vraie.
On aimerait donc que
.
Cela conduit a prendre comme définition de
la racine q-ième de
(pour x>0)
Il faut vérifier que cette définition a un sens car le même quotient a plusieurs écriture. Par exemple 3/5=9/15 donc il faut vérifier que la racine cinquième de
est bien égale à la racine quinzième de
.
Ensuite, on démontre que les puissances rationelles ont les mêmes propriétés que les puissances entières.
Pour les puissances non rationelles :
(x>0 fixé) on peut considérer une suite de quotients
qui tend vers
et montrer que la suite
converge vers un réel
qui ne dépend pas de la suite, mais seulement de
. On défini alors
comme étant égal à
et on démontre que les propriétés sont (encore) les mêmes que celle des puissances entières.
Une m'éthode plus simple consiste à définir (avec des primitives ou des solutions d'équa-diff) les fonction logaritme népérien et exponentielle puis de poser
. On prouve que cette définition donne bien les propriétés espérées (celle des puissances entières) et,
surtout, que si a est entier naturel, on trouve bien la même chose que le "bébète"
(heureusement !!!)
P.S. : Logo de LaTex
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