Demonstration "marrante"

[muse]

Voila je lisais un article en anglais et y'avais une petite demonstration dedans qui m'a fait vraiment beaucoup rire. Bon apres ça fera peut etre rire que moi. Je vous la montre:

Est ce que un irrationnel a la puissance un irrationnel est irrationnel?

Prenons par exemple :
S'il est rationnel alors il n'y a rien a faire
S'il ne l'est pas alors prennons l'exemple qui est et donc 2. et donc il n'y a rien a faire.

[Bastien L.]

Oui, c'est sympa. D'ailleurs, je l'ai citée dans la discussion que j'ai ouverte à ce sujet (des jolies démonstrations).

Je pense que celle-ci montre certaines des choses qui nous plaisent le plus en mathématiques: la preuve de la puissance de la pensée et du raisonnement, qui nous permettent de démontrer sans avoir à montrer. Nous sommes de pauvres êtres finis dans l'espace et dans le temps, et notre pensée est elle aussi finie, et, en plus, discrète, bref, pas terrible, quoi, et, cependant, notre grande force est d'être capable de prendre conscience de cela et de chercher avec succès à le dépasser. Nous apprenons à raisonner sur des objets infinis dans l'espace et des phénomènes infinis dans le temps, et nous abordons avec une relative séreinité la notion de continuité. Tout ça, c'est absolumentformidable.

C'est pour cela, je pense, qu'une catégorie de démonstrations qui ressort de la discussion que j'ai ouverte est celle - comment dire? - des démonstrations économiques, qui montre combien on peut faire avec pas grand-chose (et nous l'apprécions d'autant plus que, dans le sens où je l'ai indiqué ci-dessus, nous ne sommes pas grand-chose), et tout particulièrement celle des démonstrations qui démontrent de manière indiscutable sans avoir à montrer. Comme celle-ci. Je ne peux pas vous montrer un exemple de a^b rationnel avec a et b irrationnels, mais je peux quand-même vous convaincre indiscutablement que c'est possible, et, ça, c'est formidable, et ça peut nous faire oublier un moment notre modeste condition d'êtres mortels à la pensée finie et discrète. Remarquez aussi que le raisonnement par récurrence revient souvent quand on parle de belles démonstrations, et ce n'est pas un hasard. Se rendre compte qu'on a la capacité de donner à trois lignes (au sens propre: initialisation, hérédité, conclusion) une portée infinie, ça fait plaisir. C'est un peu pareil pour le raisonnement par l'absurde. En disant cela, je ne résume pas toute la discussion que j'ai ouverte et que je viens d'évoquer (Il y a des phénomènes tout autres), mais une bonne partie tout de même, je crois.

C'est par rapport à tout cela (que je viens d'écrire) que je trouve que le constructivisme et l'intuitionnisme en mathématiques font une terrible méprise. Je suis loin d'être assez compétant pour les juger dans leur ensemble, et, de toutes façons, je pense qu'il y a bien des choses à garder en logique, et que ces courrants s'inscrivent dans une époque où ils ne pouvaient qu'apparaitre, notamment à cause - du moins je le crois - de la révolution dans la pensée des physiciens, qui passent (arrêtez moi si j'écris une bêtise) de la pensée classique déterministe et dualiste (avec la notion de tiers exclu) au monde quantique, système relativement cahotique, de toutes façons, probabiliste; cependant prétendre qu'on ne doit pas "démontrer sans montrer", c'est justement oublier ce que sont les mathématiques, leur essence, et les assimiler à une science, ce qu'ils ne sont pas. Envisagés comme cela, ils deviendraient bien tristes. Une science doit disserter de ce qui existe déjà, et non donner une existance virtuelle à des concepts pour ensuite les étudier. Donc, exit la théorie des nombres et le plan Euclidien, non? Qu'est-ce qui survivrait des mathématiques? Rien, je le crains. Envisagés comme cela, les mathématiques perdent toute la magie que j'ai évoquée plus haut.

Une dernière chose: c'est aussi par rapport à tout ce que je viens d'écrire que je pense qu'on ne devrait pas, quand on a des ambitions "intellectuelles", se permettre d'être ignorant en mathématiques. Les mathématiques ne sont pas qu'un instrument pour ceux qui veulent fabriquer un ordinateur ou faire voler un avion, ils sont tout; ils sont partout, ils sont tous nos raisonnements, ils sont la pente première de toute pensée philosophique. Vouloir étudier l'art dans toute sa profondeur, tout son sens, toutes ses conséquences, par exemple, sans avoir un minimum de culture mathématique, de sens mathématique, est pour moi un contresens affreux. Je ne parle pas de technique ou de quantité de théorèmes sus par choeur, mais de raisonnement, de capacité à prendre du recul, et à aborder ces notions d'infini, de continu, de dénombrable… Je sais que ça peut se faire, mais c'est si dommage. Ca me permet de rajouter une note polémique sur la pluralité des baccalauréats, non pas que j'adhère en les idées (avouées ou non) des politiques (et je tiens d'ailleurs à ne pas aborder la politique ici, ainsi que le veut le réglement du forum), mais croire que les mathématiques sont un vulgaire outil de scientifique et que la philosophie est une distraction du littéraire, c'est extrèment dommage…

[Euler911]

Bonsoir,

Voici un article intéressant à lire à propos de cette démo:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Logique_intuitionniste#Approche_informelle

[leon1789]

Je ne peux pas vous montrer un exemple de a^b rationnel avec a et b irrationnels, mais je peux quand-même vous convaincre indiscutablement que c'est possible, et, ça, c'est formidable

oui, c'est formidable de savoir que quelque chose est possible... car c'est le début (et non la fin !!) d'une réflexion dont le sujet est justement de montrer comment. :zen:

C'est par rapport à tout cela (que je viens d'écrire) que je trouve que le constructivisme et l'intuitionnisme en mathématiques font une terrible méprise.

C'est amusant, car, avec le même argument, les intuitionnistes disent exactement la même chose des maths formelles. :ptdr:

Personnellement, j'aime les math formelles ou les maths constructives car elles avancent dans leur direction.... Franchement, pourquoi ne pas avancer dans les deux directions ! La stéréo, n'est-ce pas mieux que le mono ?

Visiblement, comme bcp, tu es dans le mouvement de ceux qui opposent les maths formelles et les maths constructives. C'est tellement plus "rassurant" de se mettre dans un camps que l'on croit le "bon".

Mon avis personnel, c'est que les maths constructives se nourrissent des maths formelles, et réciproquement ! Chacune à sa manière... (je peux développer si...) Mais les intégristes de chaque bord (que je respecte !) ne l'avouent pas.

cependant prétendre qu'on ne doit pas "démontrer sans montrer", c'est justement oublier ce que sont les mathématiques, leur essence, et les assimiler à une science, ce qu'ils ne sont pas.

A mon avis, là, tu vas l'encontre de toute l'histoire des maths... Les maths formelles n'existent réellement que depuis peu de temps ! Je pense qu'elles sont apparues par nécessité et parce qu'elles se révèlent très efficaces pour "dégrossir le terrain" (je me comprends). Mais imagine cependant un apprentissage en math sans montrer un seul exemple, sans aucune méthode de calcul, imagine la recherche en maths sans aucune application (il me semble que le monde actuel utilise concrètement pas mal de maths...), tu verras si "démontrer sans montrer" est suffisant. Oui, les maths peuvent être pratiquées comme un jeu, une passion, mais elles sont aussi utiles concrètement.

Envisagés comme cela, les mathématiques perdent toute la magie que j'ai évoquée plus haut.

La magie, chacun la trouve là où il veut/peut. :id:

[Bastien L.]

Visiblement, tu es dans le mouvement de ceux qui opposent les maths formelles et les maths constructives. C'est tellement plus "rassurant" de se mettre dans un camps que l'on croit le "bon".

Mon avis personnel, c'est que les maths constructives se nourrissent des maths formelles, et réciproquement ! Chacune à sa manière... (je peux développer si...) Mais les intégristes de chaque bord (que je respecte !) ne l'avouent pas.


A mon avis, là, tu vas l'encontre de toute l'histoire des maths... Les maths formelles n'existent réellement que depuis peu de temps ! Je pense qu'elles sont apparues par nécessité et parce qu'elles se révèlent très efficaces pour "dégrossir le terrain" (je me comprends). Mais imagine cependant un apprentissage en math sans montrer un seul exemple, sans aucune méthode de calcul, imagine la recherche en maths sans aucune application (il me semble que le monde actuel utilise concrètement pas mal de maths...), tu verras si "démontrer sans montrer" est suffisant. Oui, les maths peuvent être pratiquées comme un jeu, une passion, mais elles sont aussi utiles concrètement.

Bonsoir!

Je ne souhaite pas prendre part à une bataille, au delà même du fait que ça présenterait peu d'intérêt, c'est largement au delà de mes compétences. D'autre part, je ne conteste pas l'intérêt probablement formidable des mathématiques constructiviste. De toutes façons, c'est toujours très intéressant que de pouvoir réfléchir de manière différente (comme lorsqu'on apprend une langue étrangère)! C'est juste cette phrase qui me fait pousser des boutons, parce-qu'elle me semble ne pouvoir être comprise autrement qu'en ramenant les mathématiques à une science, en oubliant tout leur aspect d'abstraction, de construction mentale, et, justement, de formidable puissance due au fait que la puissance de la pensée rigoureuse permet d'aller au delà du cadre réduit de l'expérience réalisable.

[leon1789]

Bonsoir!

oui, bonsoir

[leon1789]

la puissance de la pensée rigoureuse permet d'aller au delà du cadre réduit de l'expérience réalisable.

Je ne comprends pas vraiment, car tu mets en opposition des choses qui, à mon avis, ne sont pas opposées : "pensée rigoureuse" et "cadre (réduit) de l'expérience réalisable".
Tu utilises l'adjectif péjoratif "réduit" alors qu'il n'y a pas lieu (à mon avis) car bien des choses en mathématique ont pu être inventées par une pensée rigoureuse (i.e. abstraite ?), oui c'est clair, mais bien des résultats mathématiques ont pu être découverts grâce à une expérience...

Il est important de savoir que l'expérimentation est aussi un bon moyen de consolider les connaissances (...parfois l'abstraction trop poussée joue bien des tours...).

[Bastien L.]

Bonsoir…

Oui, d'accord, mais regarde un peu: Es-tu déjà allé au bout des décimales de pi pour vérifier que ça ne s'arrêtait pas ni n'était périodique? En as-tu déjà fait l'expérience? Non! Quand tu le voudrais, le pourrais-tu? Non! Es-tu allé voir "à l'infini" ce qu'il se passe juste après 0 pour la fonction inverse? Même remarques! As-tu comptés un par un tous les nombres réels entre 0 et 1 pour conclure que si tu lances une fléchette sur la droite (disons qu'elle est guidée dans le sens verticale, elle ne peut pas dévier en ordonnée) des réels entre 0 et 1 (là aussi, elle ne peut pas sortir du cadre), tu vas presque à coup sur tomber sur un nombre transcendant? Idem! Ce que j'exprime et ce que j'ai exprimé dans cette discussion est très très général, mais rendons nous bien compte que, si quelques exemples sont très souvent appréciables pour comprendre, l'expérience sensible tient une part vraiment réduite lorsque nous faisons des mathématiques. Nous y sommes si habitué que nous ne nous en rendons même pas compte. Mais, par exemple, même quand tu parles d'un quelconque carré, tu parles de segments de droites, et donc de points, et donc d'objets, ou plutôt de concepts, qui n'existent absolument pas autour de nous, et dont, fatalement, tu n'as jamais pu faire l'expérience… Et pourtant, c'est fou tout ce que nous pouvons en faire!

[leon1789]

Es-tu déjà allé au bout des décimales de pi pour vérifier que ça ne s'arrêtait pas ni n'était périodique?

Pour utiliser concrètement un nombre, il n'est pas nécessaire de connaitre toutes ses décimales ! Il y a bien d'autres manières de le définir et de le manipuler concrètement... Faut arrêter de croire qu'expérimenter concrètement, c'est utiliser la petite calculette affichant 8 chiffres et permettant 6 opérations :id:

En as-tu déjà fait l'expérience? Non!

Tu es bien certain de toi. Manipuler des dizaines milliers de décimales de Pi pour vérifier expérimentalement quelques résultats théoriques sur les décimales de Pi, oui je l'ai fait.

Quand tu le voudrais, le pourrais-tu? Non! Es-tu allé voir "à l'infini" ce qu'il se passe juste après 0 pour la fonction inverse? Même remarques!

Ne pas pouvoir aller au zéro absolu ne signifie pas qu'on ne peut pas s'en approcher aussi près que nécessaire pour voir quelque chose... On dirait que tu n'as jamais fait d'expérience mathématique.

As-tu comptés un par un tous les nombres réels entre 0 et 1 pour conclure que si tu lances une fléchette sur la droite des réels entre 0 et 1 (là aussi, elle ne peut pas sortir du cadre), tu vas presque à coup sur tomber sur un nombre transcendant? Idem!

Oui, on sait, les nombres transcendants remplissent R , donc on tombe dessus en tirant au hasard... Tu aurais dû dire ça à Liouville : il ne serait pas fatigué à construire des familles de nombres transcendants.

Ce que j'exprime et ce que j'ai exprimé dans cette discussion est très très général, mais rendons nous bien compte que, si quelques exemples sont très souvent appréciables pour comprendre, l'expérience sensible tient une part vraiment réduite lorsque nous faisons des mathématiques.

Qui "nous" ? :ptdr: franchement ...

Nous y sommes si habitué que nous ne nous en rendons même pas compte. Mais, par exemple, même quand tu parles d'un quelconque carré, tu parles de segments de droites, et donc de points, et donc d'objets, ou plutôt de concepts, qui n'existent absolument pas autour de nous, et dont, fatalement, tu n'as jamais pu faire l'expérience…

Mais que racontes-tu ??? As-tu déjà fait des TP de géométrie ?

Là, j'ai l'impression que tu dissertes sur l'existence réelle des objets définis mathématiquement... Cela n'a rien à voir avec l'expérimentation des maths. Heureusement !

[Bastien L.]

Je ne comprends pas pourquoi tu es si imperméable à reconnaître que tu raisonnes le plus souvent, et que tes résultats sont l'oeuvre de ta raison et non de ton expérience.

"Pour utiliser concrètement un nombre, il n'est pas nécessaire de connaitre toutes ses décimales ! Il y a bien d'autres manières de le définir et de le manipuler concrètement... Faut arrêter de croire qu'expérimenter concrètement, c'est utiliser la petite calculette affichant 8 chiffres et permettant 6 opérations" Merci, je ne suis pas aussi naïf… Bien d'autres manières? Oui! Par la raison, sans en faire l'expérience.

"Tu es bien certain de toi. Manipuler des dizaines milliers de décimales de Pi pour vérifier expérimentalement quelques résultats théoriques sur les décimales de Pi, oui je l'ai fait."
Ok, c'est intéressant, j'avoue. Et c'est représentatif du travail que nous faisons quand nous faisons des maths, que de manipuler des dizaines de milliers de décimales?

"Oui, on sait, les nombres transcendants remplissent R , donc on tombe dessus en tirant au hasard... Tu aurais dû dire ça à Liouville : il ne serait pas fatigué à construire des familles de nombres transcendants.
"
Je ne sais pas ce que tu as voulu dire par là.

"Mais que racontes-tu ??? As-tu déjà fait des TP de géométrie ?"
Dans un T.P. de chimie, la figure n'est en aucun cas, en aucun cas, une présentation du problème mathématiques. Au mieux, une illustration! Les simples caractéristiques du plan et du point suffisent à nous empêcher toute présentation rigoureuse! Tu le sais bien! Ca me rappelle une fois ou pour je ne sais plus quelle raison nous voulions placer "au hasard" un poit sur un disque. Nous avons défini grâce à la fonction "alea" du tableur un argument et un module aléatoires (adaptés), en définissant ainsi un point aléatoire par un nombre complexe. Comme tu l'auras deviné, nous avons obtenu par erreur une grosse concentration de points autour du centre du disque. Je pense que tu comprends pourquoi. Ma pensée est que si en regardant une figure on se dit "J'ai un carré, un cercle, un point, etc., sous les yeux.", c'est qu'on ne prend pas la peine d'avoir à l'instant où l'on se dit ça (ne me fait pas dire ce que je ne dis pas) une vision claire de ce que sont ces objets mathématiques. C'est drôle, d'ailleurs: Nous modélisons le concrêt par des concepts mathématiques, et ensuite nous représentons nos concepts mathématiques par des objets concrets mais non mathématiques. Il y a là, je pense, une dialectique formidable, qui est peut-être représentative de notre rapport au monde de façon générale (qui fait intervenir inconsciemment mathématiques et langage): observation, conceptualisation, projection du concept sur le monde concrêt que nous ne saisissons pas en lui-même mais au travers des armes que nous nous sommes donnés volontairement ou non pour l'envisager.

Je pense qu'il y a entre nous un problème sémantique qui n'est pas aussi gros qu'il n'y paraît: par "expérience", je n'entend pas "démarche expérimental", ou l'on "teste", et "observe ce qu'il se passe" (je ne sais pas trop comment dire); évidemment que l'on se sert de ça! Je parle d'"expérience" dans le sens de contact réel avec l'objet ou le phénomène. Tu as visiblement fait des expériences avec le nombre pi, mais, de ta vie, tu n'en feras jamais L' expérience…

[leon1789]

Je ne comprends pas pourquoi tu es si imperméable à reconnaître que tu raisonnes le plus souvent, et que tes résultats sont l'oeuvre de ta raison et non de ton expérience.

Ce que tu dis là est faux tout simplement. D'où tiens-tu que l'expérience ne permet pas d'obtenir des résultats ?

"Pour utiliser concrètement un nombre, il n'est pas nécessaire de connaitre toutes ses décimales ! Il y a bien d'autres manières de le définir et de le manipuler concrètement... Faut arrêter de croire qu'expérimenter concrètement, c'est utiliser la petite calculette affichant 8 chiffres et permettant 6 opérations" Merci, je ne suis pas aussi naïf… Bien d'autres manières? Oui! Par la raison, sans en faire l'expérience.

Là, tu montres clairement que tu ne connais pas le sujet... C'est la preuve manifeste que, par exemple, on n'enseigne pas assez le calcul formel à l'école... Le calcul formel étant par essence même source d'innombrable expériences, et par retour, d'innombrable questions et de réponses.

"Tu es bien certain de toi. Manipuler des dizaines milliers de décimales de Pi pour vérifier expérimentalement quelques résultats théoriques sur les décimales de Pi, oui je l'ai fait."
Ok, c'est intéressant, j'avoue. Et c'est représentatif du travail que nous faisons quand nous faisons des maths, que de manipuler des dizaines de milliers de décimales?

Je connais pas mal de personnes qui sont en effet incapables de faire une synthèse dans ce genre d'expérimentation numérique, car ils n'ont justement pas compris la théorie (alors qu'ils laissent croire le contraire...)
Par ailleurs, j'ai déjà fait certaines expérimentations numériques qui m'ont permis de redécouvrir des résultats que j'ignorais totalement à ce moment là.

"Mais que racontes-tu ??? As-tu déjà fait des TP de géométrie ?"
Dans un T.P. de chimie, la figure n'est en aucun cas, en aucun cas, une présentation du problème mathématiques. Au mieux, une illustration!

Illustrer les maths, c'est justement un point important !

Les simples caractéristiques du plan et du point suffisent à nous empêcher toute présentation rigoureuse!

Qui demande de faire une présentation rigoureuse de l'impossible ?

Ca me rappelle une fois ou pour je ne sais plus quelle raison nous voulions placer "au hasard" un poit sur un disque. Nous avons défini grâce à la fonction "alea" du tableur un argument et un module aléatoires (adaptés), en définissant ainsi un point aléatoire par un nombre complexe. Comme tu l'auras deviné, nous avons obtenu par erreur une grosse concentration de points autour du centre du disque. Je pense que tu comprends pourquoi.

Oui, je trouve que c'est une expérience intéressante quand on débute les probas.

Ma pensée est que si en regardant une figure on se dit "J'ai un carré, un cercle, un point, etc., sous les yeux.", c'est qu'on ne prend pas la peine d'avoir à l'instant où l'on se dit ça (ne me fait pas dire ce que je ne dis pas) une vision claire de ce que sont ces objets mathématiques.

Désolé, je ne vois pas le rapport, je ne comprends pas. J'imagine même que tu préfères ne pas faire de dessin pour résoudre les problèmes de géométrie, de peur de ne pas avoir une vision claire pendant un instant... Etrange.

Je pense qu'il y a entre nous un problème sémantique qui n'est pas aussi gros qu'il n'y paraît: par "expérience", je n'entend pas "démarche expérimental", ou l'on "teste", et "observe ce qu'il se passe" (je ne sais pas trop comment dire);

C'est effectivement, à peu près dans ce sens là que j'entends la chose.

Je parle d'"expérience" dans le sens de contact réel avec l'objet ou le phénomène. Tu as visiblement fait des expériences avec le nombre pi, mais, de ta vie, tu n'en feras jamais L' expérience…

Tu es en train de dire qu'on ne peut pas toucher une pensée : ah oui, ça c'est vrai...

[Bastien L.]

Désolé, je ne vois pas le rapport, je ne comprends pas. J'imagine même que tu préfères ne pas faire de dessin pour résoudre les problèmes de géométrie, de peur de ne pas avoir une vision claire pendant un instant... Etrange.

Je relève cela en particulier parce-que tu n'as vraiment pas compris l'enjeu de ce que j'ai dit. La figure est une aide indéniable, et parfois même quasi-obligatoire, comme tous, j'en sais quelque-chose. Mais personne n'a jamasi tracé un carré sur une feuille de papier, ni même sur Géogébra. Au mieux, une "représentation d'un carré". Voilà ce que j'ai voulu dire. Ca n'enlève rien du bénéfice évident de tels outils. É-vi-dem-ment. Mais je dis et je répète que quiconque croit être en train de regarder un carré ou un cercle est en train ponctuellement d'oublier la vraie nature de ces objets-là.


Du reste, notre opposition n'est qu'apparente:
• Je parle de faire l'expérience des objets mathématiques (impossible),
• Tu parles de faire des expériences avec les objets mathématiques, chose dont je n'ai jamais nié ni la possibilité ni l'intérêt. Évidemment qu'on fait "des expériences". Tu transformes mon discours. En fait, je crois qu'on a à peine effleuré le sujet…

[Bastien L.]

Et je vais d'ailleurs préciser un peu ma pensée. Les expériences dont tu parles, celles que tu fais en maths, elle ne sont pas du même genre que celles que tu peux faire en biologie!

En bio, tu dis: "Je prends tel animal, je lui fais subir quelque-chose, et je vais regarder ou prendre connaissance par quelque autre de mes sens du résultat.". En maths, ne penses-tu pas que ce serait plutôt: "J'imagine tel concept. Je lui applique en pensée telle ou telle chose. Et, en pensée, j'observe le résultat."? Ok, on regarde bien un tableur ou une figure géométrique, mais ce n'est qu'apparent, puisqu'il ne s'agit que de la modélisation matérielle (et encore, dans le cas du tableur…) de ce que notre pensée nous a conduit à imaginer. Rien à voir, donc, avec le pauvre animal, puisque c'est presque le contraire… Tu ne crois pas?

[muse]

C'est pas vraiment le sujet que je voulais lancer moi :(

[Bastien L.]

Heu… :-S Bonsoir, excuse-moi; cette discussion est directement liée à ton sujet… ^^ Déslé si ça te déçois… :-S

À propos de cette démo, on l'a faite au début de l'année (en T.S., en spé) pour introduire la notion de raisonnement par disjonction des cas, et c'est vrai que ça crée toujours un peu d'émerveillement dans la classe… :-)

[leon1789]

(...)Tu ne crois pas?

Non, pas vraiment.

[muse]

Mouais non c'est pas du tout le sujet que je voulais introduire, je voulais introduire des demo marrante pas des discussions philosophiques.

Sinon tu sais les math sont pas faites pour s'amuser même si sa en amuse certain. Le but est scientifique. Et tu verras que les chose les plus complexe ont une application dans plusieurs domaines.