Définition d'un ensemble donnée par Cantor

[Archigore]

Bonjour à tous voici la définition :

« Par ensemble, nous entendons toute collection M d'objets m de notre intuition ou de notre pensée, définis et distincts, ces objets étant appelés les éléments de M »

Je vais sûrement poser une question dont la réponse doit être évidente :

Quel est le sens de "distincts" dans cette définition ? Est-ce vraiment une évidence ou y a-t-il une subtilité ?

[hdci]

Bonsoir,

L'ensemble {a; a} ne contient qu'un seul élément car de façon évidente, a=a.

Par opposition au couple (a;a) qui est bien une chose à deux membres, même si les deux membres sont égaux.

Cette précision permet de définir des ensembles par une formule sans se soucier de savoir si la formule aboutit plusieurs fois aux mêmes éléments, par exemple

[Archigore]

Oui les doublons ne sont pas représentés.



Pour des nombres c'est clair mais pour ...des oranges par exemple ?

Et si je dois introduire ce "distinct" à des collégiens sur des ensembles d'objets généraux (qui ne sont pas forcément des nombres) dans quel sens interpréter cette distinction?

Je précise que je n'ai pas encore présenté N,Z .... Je repars de zéro pour donner des cours "solides". Voici le début de ma rédaction un peu brouillonne (ci-dessous). Je ne sais pas comment introduire cette distinction SANS avoir recours à des ensembles de nombres que je souhaite absolument introduire juste après.

Un ensemble est une collection d'objets que l'on peut tous définir par une même propriété. On dit que cette
propriété est commune ou partagée par ces objets.

exemple :

SI on nomme P la propriété "avoir une couleur rouge" et on décide que les objets qui vérifient cette propriété sont ceux qui sont en partie colorés de rouge ALORS certaines tomates, coquelicots, cerises, coccinelles vérifient P et forment un ensemble d’objets de couleur rouge.

On appelle élément un objet qui appartient à un ensemble. Ainsi un élément doit vérifier (ou satisfaire) la propriété qu’on a choisi (est-ce vraiment un choix?) pour former un ensemble.

Fais-je du grand n'importe quoi ? Suis-je fou ?

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Euhh ... Tu veux vraiment raconte ça à des collégiens ? Et tu auras l'impression, ce faisant, de faire des cours "solides" ?

[hdci]

Bonjour,
Pour ma classe de seconde, je présente la définition d'un ensemble comme suit :

1) je fais une réflexion orale en posant la question "qu'est-ce qu'un ensemble" et en fonction des réponses j'oriente ; j'ai ainsi des élèves qui parlent "d'une collection", "d'un regroupement", etc.

2) Je fais un exemple concret en prenant la trousse d'un élève et en lui demandant d'en faire l'inventaire. J'en arrive à la conclusion que la trousse, qui est un "objet", est un "regroupement d'objets divers et variés"

3) J'introduis alors cette pseudo-définition en insistant sur le caractère intuitif (la relation d'ordre "appartenance" n'étant évidemment pas détaillée) :
Définition (intuitive) :" Un ensemble est un objet mathématique qui contient d'autres objets mathématiques. Un objet mathématique qui appartient à un ensemble s'appelle un élément."

4) J'introduits la notation "appartient" et "n'appartient pas"

5) je passe ensuite à des représentation schématiques de type Venn (les "patatoïdes" avec des points) pour faire apparaître les appartenances, non appartenances, intersections, etc.

La mention "qui partagent une propriété commune" ne me semble pas appropriée à ce stade, les ensembles peuvent être théoriquement très hétérogène (la seule propriété commune, c'est qu'ils appartiennent à l'ensemble ; cf. le contenu de la trousse de l'élève).
Par contre, j'aborde le mécanisme de définition : par extension et par compréhension (où là il y a une "propriété commune").

[Archigore]

Merci hdci.