Définir la constante Lipschitz de la fonction f(x)=-b(x^2)

[Rio16]

Bonjour à toute la communauté,
Pour des fins de calcul de loi de commande, j'ai besoin de bien définir la constante Lipschitz d'une fonction non linéaire,
la fonction en question est : f(x)=-0.1*(x^2), et cela dans un intervalle x compris entre [0,50], et j'aimerai bien savoir comment y procéder !

Merci d'avance !

[anthony_unac]

Quelle est la définition d'une constante de Lipschitz associée à une fonction ?
Un petit tour sur wikipédia ne m'a pas vraiment aiguillé ?

[Rio16]

Bonjour,
En somme, pour x[a,b], |f(x2)-f(x1)|<= L|x2-x1| tel que L>0 est la constante de Lipschitz !

[anthony_unac]

Et cette constante est unique à chaque fois ?!

[Rio16]

Pour le même intervalle ! normalement oui !

[anthony_unac]

Et cette constante unique est toujours existante quelque soit la fonction ?
Si mettons (prenons un cas simple), je cherche la dite constante en travaillant dans l'intervalle associée à la fonction
Que peut on dire de plus que si on suit la définition que vous m'avez donné ?

[Rio16]

Oui là c'est clair, mais si la pente était négative(f(x)=-2x) est-ce que je pourrai dire que L=-2, sachant que par la définition que j'ai trouver le L doit être positif !!!

[anthony_unac]

Bonjour,
Il y a forcément un ou des éléments faux dans ce que nous avons écrit.
Soit
1/ La définition est incomplète et/ou inexacte
2/ K n'est pas défini pour toutes les fonctions

PS: A la question : "K est il toujours unique ?" Il est faux de répondre oui si celui ci est défini par une inégalité. Ainsi dans mon exemple K appartient à l'intervalle [2;+inf]

[Rio16]

Voici la définition :
http://www.math-info.univ-paris5.fr/~av ... ode15.html

On voit bien que dans cette dernière k est dans R^+, donc k>0.

[Razes]

Commence par calculer puis factorise

[anthony_unac]

Re,
Après lecture de votre document, il est clair que n'est pas unique.
Concernant votre fonction
J'obtiens pour tous les couples de l'intervalle

Si
Si

Vous reconnaissez alors des identités remarquables connus et vous pouvez facilement conclure

[Razes]

@anthony_unac
Il vaut mieux éviter d'utiliser pour un abscisse.

[Rio16]

Salut,

donc :

f(x2)-f(x1)=-bx2^2+bx1^2
=b[x1^2-x2^2]
=b[(x1-x2)(x1+x2)]
sachant que x appartient à [0 50] :
|f(x2)-f(x1)|<=b*50*|x1-x2|

Donc L=b*50

sachant que |.| définie la norme euclidienne !

Est-je péché quelque part ?

[Razes]

Oui, c'est ça à un détail près.

Tu as mis un 50? il faut justifier. C'est quoi la valeur maxi de (x1+x2)?

[Rio16]

Oui, la valeur max est 50 m/s, donc j'ai résonné sur le fait que je travaille sur la plage [0 50] tel que x1=0, x2=50,

Vrai au faux ???

[Razes]

Mais c'est qu'on souhaite majorer et non pas et non pas |x1-x2|

[Matt_01]

Sinon on peut utiliser le théorème des accroissements finis pour montrer que la constante est égale au sup de la valeur absolue de f'(x) sur [0,50].

[Razes]

sont majorés par