Courbes de Bézier

[Dlzlogic]

Bonjour,
Les courbes de Bézier cubiques sont très utilisées dons toutes les applications graphiques qui produisent un lissage.
Avec un arc de parabole, on obtient un résultat plus proche des points de contrôle, donc plus facile et plus précis à traiter.
Trois points A,B,C, non alignés déterminent un arc de parabole tangent en A et C au polygone ABC. Une ligne brisée peut donc être représentée par une courbe lissée, constituée d'arc de parabole.

Quel peut être la raison de l'utilisation de courbes cubiques plutôt que de paraboles ?

[Skullkid]

Intuitivement (je suis pas graphiste ni rien) j'imagine que c'est parce qu'on aime avoir des courbes C², ce qui n'est pas possible avec des arcs de parabole.

[Dlzlogic]

Intuitivement (je suis pas graphiste ni rien) j'imagine que c'est parce qu'on aime avoir des courbes C², ce qui n'est pas possible avec des arcs de parabole.

Je ne sais pas ce que c'est des courbes C².
Mais je ne sais pas ce qui n'est pas possible avec des arcs de parabole.
Soit une ligne brisée, c'est à dire un polygone, on peut toujours la dessiner, lissée, avec des arcs de parabole. J'en ai dessiné des milliers, et naturellement, je ne suis pas le seul.

[Skullkid]

Une courbe C² c'est une courbe dont la courbure (dérivée seconde) est continue. Si tu forces chacun de tes arcs de parabole à passer par 2 points et que tu imposes que la courbe finale soit dérivable, tu n'as aucun moyen de contrôler la courbure.

Sinon, vu que tu parles d'un point de contrôle pour tes arcs de parabole, j'ai du mal à identifier précisément ce que tu entends par "lisser une ligne polygonale". Est-ce que la courbe que tu veux au final doit passer par tous les sommets de ta ligne ?

[Dlzlogic]

Une courbe C² c'est une courbe dont la courbure (dérivée seconde) est continue. Si tu forces chacun de tes arcs de parabole à passer par 2 points et que tu imposes que la courbe finale soit dérivable, tu n'as aucun moyen de contrôler la courbure.

Sinon, vu que tu parles d'un point de contrôle pour tes arcs de parabole, j'ai du mal à identifier précisément ce que tu entends par "lisser une ligne polygonale". Est-ce que la courbe que tu veux au final doit passer par tous les sommets de ta ligne ?

J'avoue que je ne vois pas très bien ce que vient faire la courbure.
Pour moi une courbe lissée est courbe qui ne contient aucun point anguleux, soit en terme mathématique, partout dérivable, ce qui est le cas d'une succession d'arcs de parabole tangents.

Une courbe de Bézier cubique est à l'intérieur d'un polygone à 4 sommets P0 à P3.
La courbe part de P1, arrive à P3, est tangente à P0-P1 et à P2-P3, mais n'est pas tangente à P2-P3.

Un arc de parabole est à l'intérieur d'un polygone à 3 sommets A, B, C.
L'arc part de A, arrive en C, est Tangent à AB et à BC, mais ne passe pas par B.
Pour une ligne brisée, le courbe constituée des arcs de parabole ne passe par aucun sommet, mais est tangente à tous les côtés. Elle est donc plus "proche" de la ligne de base, à lisser.

[Skullkid]

Ok donc en fait ce dont tu parles avec tes arcs de parabole, c'est du Bézier de degré 2 et non pas de l'interpolation quadratique comme on aurait pu le penser.

Une courbe C² est plus lisse qu'une courbe simplement dérivable, mais mon manque de connaissances dans le domaine fait que je ne pourrai pas te donner d'exemples précis (à part "c'est plus joli") où la continuité de la courbure est importante.

Sinon, avec ta méthode, comme tu l'as dit on ne passe par aucun des sommets de ta ligne polygonale, et on peut facilement imaginer qu'on ait besoin de passer par un sommet. D'une façon générale, plus on a de degrés de liberté, plus on est libre (!) de choisir une forme de courbe adaptée, ce qui peut s'avérer très utile quand l'objectif n'est pas d'approcher une ligne polygonale mais de faire du dessin (les Bézier cubiques permettent par exemple de gérer l'adhérence de la courbe à ses tangentes aux points de contrôle extrêmes, ce qui n'est pas possible en degré 2).

Comme d'habitude, il y a plusieurs méthodes, chacune ayant ses caractéristiques qui la rendent plus adaptée à certains problèmes.

[Dlzlogic]

Dans le cas d'une ligne polygonale "continue" il est logique de ne passer par aucun sommet, sauf les extrémités. Si cette ligne est fermée, on obtient une courbe lissée continue (avec une parabole).
Aux extrémités, le premier et le dernier arc de parabole est naturellement tangent au premier et au dernier segment.
En cours de route, si on a un sommet que l'on veut anguleux, la courbe passera par ce sommet, elle sera tangente aux 2 segments ayant ce point pour extrémité, mais ne sera pas dérivable en ce point.

Concernant le degré de liberté, il n'y a aucune différence, puisque chaque sommet définit un sommet de tangence, ce qui n'est justement pas le cas pour une courbe de degré 3.
Donc, j'ai toujours pas vu l'avantage du degré 3. Je dirais même que dans certains cas, le degré 3 produit une courbe avec des "sommets" assez bizarres et en tout cas certainement pas souhaités.

Je ne vois pas non plus la différence de problème : le but est toujours d'obtenir une courbe lissée, continue, et de pouvoir la modifier, si on veut, en agissant sur le moins de points de contrôle possibles et de façon à prévoir facilement le résultat.

[Skullkid]

On peut vouloir passer par un point précis "au milieu du trajet" sans rendre ce point anguleux, en quoi ça te semble incroyable ? On peut aussi vouloir une courbe qui passe juste par deux points donnés mais qui a une forme une peu plus compliquée qu'un arc de parabole (un genre de S par exemple, ou une courbe avec point multiple), c'est pas non plus impensable.

De plus j'ai à nouveau l'impression que tu ne lis que la moitié de ce que j'écris : les Bézier cubiques permettent de contrôler l'adhérence de la courbe à ses tangentes aux points de contrôle extrêmes, ce qu'on ne peut pas faire avec une courbe de degré 2 parce qu'on a pas assez de degrés de liberté. Je peux t'assurer que quand tu dessines un truc sur Photoshop, le simple fait d'imposer les tangentes en certains points est souvent loin d'être satisfaisant. Quand tu veux concevoir une pièce pour une machine on imagine sans mal que ça peut devenir encore plus important.

[Dlzlogic]

On peut vouloir passer par un point précis "au milieu du trajet" sans rendre ce point anguleux, en quoi ça te semble incroyable ?

Ce qui signifie que l'arc précédent ce point est courbe, ainsi que l'arc qui le suit, et que ces deux arcs ont une tangent commune, difficile, mais pas impossible.

On peut aussi vouloir une courbe qui passe juste par deux points donnés mais qui a une forme une peu plus compliquée qu'un arc de parabole (un genre de S par exemple, ou une courbe avec point multiple), c'est pas non plus impensable.

Ca c'est possible aussi mais dans l'esprit de lissage, sans grand intérêt.

De plus j'ai à nouveau l'impression que tu ne lis que la moitié de ce que j'écris : les Bézier cubiques permettent de contrôler l'adhérence de la courbe à ses tangentes aux points de contrôle extrêmes, ce qu'on ne peut pas faire avec une courbe de degré 2 parce qu'on a pas assez de degrés de liberté.

En l'occurrence, je ne sais pas lequel de nous deux lit la moitié de ce que l'autre écrit.

Je peux t'assurer que quand tu dessines un truc sur Photoshop, le simple fait d'imposer les tangentes en certains points est souvent loin d'être satisfaisant. Quand tu veux concevoir une pièce pour une machine on imagine sans mal que ça peut devenir encore plus important.

Je ne comprend pas pourquoi tu parles de Photoshop. Je sais qu'il fait des truc pas mal, mais comme je ne l'ai pas, que je ne m'en suis jamais servi, je n'en sais pas plus. Quand je parle de méthode de dessin, ou d'autre chose d'ailleurs, il s'agit de ce que j'ai mis au point, testé, expérimenté, vérifié, utilisé.

Essayons de parler mathématiques.

Soit trois points ABC, non alignés. Il existe un arc de parabole et un seul tangent en A à AB et tangent en C à CB.

Soit 4 points ABCD, il existe 1 arc de parabole tangent en A à AB et tangent à BC en un point E, et un arc de parabole tangent à BC en E et tangent à DC en D. Donc entre A et D il y a une courbe lissée constituée de 2 arcs de parabole.
Pour 5 points et plus, c'est la même chose, il existe une courbe lissée partant de l'origine, tangente au premier segment, et aboutissant au point extrémité et tangente au dernier segment. Si le polygone est fermé, la courbe est lissée sur tout son trajet, sans pouvoir distinguer l'origine, naturellement si on le souhaite.

Il est bien évident qu'aucune fantaisie n'est admise dans ce trajet, du type 'S', si on voulait un tel dessin, on doit rajouter des points de contrôle. Sinon, c'est "n'importe quoi".

J'ai l'impression, qu'encore une fois, j'évoque des notions dont tu ne connais pas le premier mot.

[Skullkid]

Oui, les notions que tu es le seul à connaître y commence à en avoir un paquet. Inutile de continuer cette discussion, tous ceux qui ont déjà essayé de discuter avec toi sur ces "notions dont on ignore tous le premier mot" savent très bien comment ça va continuer.

Je te propose d'envoyer une lettre ouverte à tous les scientifiques/graphistes/concepteurs qui utilisent des Bézier cubiques pour leur expliquer que ce sont des abrutis et que tu détiens la Vérité. Ne perds pas ton temps à prêcher la bonne parole à des brebis galeuses telles que nous ou les membres de l-m.net.

[Dlzlogic]

Il est bien évident que je ne suis pas le seul à connaitre les notions dont je parle, mais comme tu réfutes les documents que j'apporte, c'est pas facile.
Je ne sais toujours pas si c'est moi qui ne lis que la moitié de ce que tu écris ou si c'est le contraire.
Je pose une question poliment, tu me réponds "(je suis pas graphiste ni rien)".
En fait ma question est simple, la raison est-elle précise, et en ce cas, ça m'intéresse, parce que je suis curieux, ou c'est simplement par tradition ou pour des raisons historiques.
Comme je n'ai pas eu d'autre retour que "j'imagine que c'est parce qu'on aime avoir des courbes C²" de ta part, je suppose que c'est par tradition.
En tout cas sauf autre intervention, j'ai une réponse.

[Skullkid]

Documents ? Où ça ?

Oui, j'ai commencé ma première réponse par rappeler que je ne suis pas graphiste et que je n'utilise pas les courbes de Bézier quotidiennement (je les manipule seulement sous Photoshop, et je parle de Photoshop parce que je l'utilise et que je peux t'assurer que le degré de liberté supplémentaire fourni par une courbe de Bézier de degré 3 par rapport au degré 2 est tout sauf superflu dans ce cas - et c'est la troisième fois que je le dis). Tu sembles vouloir me taxer d'impolitesse sous prétexte que je tiens à signaler clairement que je ne suis pas un expert en la matière... Dois-je comprendre que tu considères ton infinie vantardise et tes phrases à la "j'ai dessiné des milliers de paraboles" comme de la politesse ? Faut consulter là...

La méthode que tu décris avec les paraboles c'est du Bézier de degré 2, autrement dit ça a été inventé en même temps que le Bézier de degré 3 et supérieurs. Plus le degré est élevé, plus les temps de calcul nécessaires sont longs. Ça devrait largement suffire pour te faire comprendre que la tradition seule ne peut pas être une raison suffisante pour justifier la préférence pour le degré 3 par rapport au degré 2 dans certains cas. Après, vouloir connaître les raisons précises est tout à fait naturel, mais étant donné l'état d'esprit dans lequel tu es ("c'est moi l'expert ès tout, si t'es pas d'accord c'est pas la peine de discuter") c'est impossible d'avoir une discussion avec toi. Normalement l'âge du "non" ça s'arrête quand on a 3 ans.

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salut,

faudrait un peu s'arreter de s'exciter.
C'est pas bien de dire : tu connais rien.
C'est pas bien non plus de dire : tu sais pas lire.

Je fais pas la liste exhaustive, mais je tiens à vous rappeler qu'on vous lit, et que la question posée est une fois de plus gachée par des interventions un peu trop sucrées...

Donc prochain petit pic, je modère...

[Skullkid]

salut,

faudrait un peu s'arreter de s'exciter.
C'est pas bien de dire : tu connais rien.
C'est pas bien non plus de dire : tu sais pas lire.

Je fais pas la liste exhaustive, mais je tiens à vous rappeler qu'on vous lit, et que la question posée est une fois de plus gachée par des interventions un peu trop sucrées...

Donc prochain petit pic, je modère...

Tu sais très bien qu'on pourra pas continuer sans s'attaquer, autant fermer dès maintenant :/