Conjecture (pas encore de preuve)

[Anonyme]

Bonjour,

Tout étudiant de prépa sait calculer
Et on peut vérifier que, pour chaque x fixé, cette somme reste bornée en n.
La question que je me suis posé est de savoir si la suite est bornée.
En calculant quelques valeurs de cette somme avec un programme j'ai conjecturé que:


Quelqu'un saurait-il confirmer et prouver ou infirmer cette conjecture ?

[Matt_01]

Déja, pour obtenir le max, il suffit de sommer sur les positifs. Du coup, on somme sur tous les indices i tq i^2 mod 2pi appartient à [-pi/2, pi/2].
Etant donné que i^2 mod 2pi est equirepartie, on sait que le nombre de termes qu'on va sommer est equivalent à n/2.
Maintenant, on a bien envie de dire que, le i^2 se repartissant bien sur [-pi/2,pi/2], la limite de la somme est alors la moyenne du cos sur [-pi/2,pi/2] qui vaut 2/pi, que l'on divise par 2 pour obtenir le resultat (vu que l'on somme qu'environ la moitié des termes, il faut bien considérer le cardinal de l'ensemble sur lesuel on applique la moyenne).

La je suis sur mon tel, je peux pas trop developpé, mais j'essaierai de voir si on peut demontrer le resultat avec ces arguments là.

[Doraki]

la suite (somme pour k=0 à n de cos(k²))/n tend vers 0 (n² mod 2pi est équirépartie, et l'intégrale de cos(x) de 0 à 2pi est nulle), ce qui implique que ta suite ((1/n) * max (somme pour i=0 à k cos(i²)) tend vers 0.

A priori (si la suite n² mod 2pi ressemble assez à une suite de variables aléatoires uniformes),
on devrait s'attendre à ce que max (somme pour i=0 à k cos(i²)) soit un O(sqrt(n)).

[Matt_01]

Ah autant pour moi, j'avais mal interprété la demande. Mais du coup, avais-tu bien exprimé ta question ? Ton experience semble surprenante si c'est censé tendre vers 0.

[ffpower]

A priori (si la suite n² mod 2pi ressemble assez à une suite de variables aléatoires uniformes),
on devrait s'attendre à ce que max (somme pour i=0 à k cos(i²)) soit un O(sqrt(n)).

Plutot O(n^{1/2+c}) pour tout c>0 et pas pour c=0, et y aurait un espece de TCL..
Mais c est pas du tout clair que ca se passe comme ca. Pour preuve, quand on regarde la somme des cos k, c est borne, et donc bien different de ce qu il se passe avec des variables aleatoires.

Apres, peut etre que le carre rend la suite plus "chaotique" donc ressemble plus a un truc aleatoire, je sais pas..

(ps: moi aussi je me demande d'ou il sort ce 1/pi ^^)